La matematica in gioco: Terne pitagoriche

E torniamo a giocare con la matematica (e con quale altra disciplina, o scienza, o follia della mente potreste mai pensare di divertirvi seriamente?). In questo caso ci occupiamo del famigerato teorema di Pitagora, quello dei triangoli rettangoli, dei quadrati costruiti sui suoi lati, due dei quali, quelli ad angolo retto, detti cateti, e l'ultimo detto ipotenusa. Certo Pitagora non pretende che vi mettiate a costruire dei quadrati sopra ai poveri cateti o magari sopra alla delicata ipotenusa, ma potreste farlo semplicemente con carta e penna e poi con il righello verificare che quel geniaccio aveva semplicemente ragione. O magari provare a ricavare un'espressione tipo questa: \[c_1^2 + c_2^2 = i^2\] Per questo e molti altri risultati possiamo dire che la scuola di Pitagora fu una delle più grandi scuole filosofico-matematiche dell'antichità. Molte delle osservazioni di Pitagora e dei suoi allievi, infatti, non solo vennero successivamente confermate (ad esempio la teoria eliocentrica, una delle festeggiate in questo splendente anno astronomico), ma anche col tempo riscoperte, come ad esempio proprio il teorema di Pitagora, dimostrato da Euclide nel primo volume degli Elementi.
La sua formula, che possiamo riscrivere come segue: \[a^2 + b^2 = c^2\] può essere eventualmente verificata per numeri interi: in questo caso la particolare terna viene detta terna pitagorica. Iniziamo a dare i numeri, anzi le formule: una delle più semplici per determinare le terne pitaogirche è la seguente: \[a = \frac{m^2-1}{2}; \qquad b = m; \qquad c = \frac{m^2+1}{2}\] dove $m$ è un numero dispari. Tale formula può anche essere scritta nel modo seguente: \[a = n^2-1; \qquad b = 2n; \qquad c = n^2 +1\] dove $n$ è un numero intero qualsiasi. Un'altra formula, un po' più complessa, per determinare terne pitagoriche è data da \[a = 2n+1; \quad b = 2n(n+1); \qquad c = n^2 + (n+1)^2\] Poniamo l'attenzione sulla prima formula modificata: non solo è presente in un bel libro che fa dei giochi matematici il suo fondamento, Lo strano caso del cane ucciso a mezzanotte di Mark Haddon, ma è anche utilissima per risolvere il problema n.9 del Project Euler. Questo problema, che si basa sulle terne pitagoriche, chiede di determinare il prodotto $abc$ dell'unica terna pitagorica per cui $a+b+c=1000$.
Utiizzando, come suggerito, la prima formula modificata, dovreste trovare abbastanza velocemente e senza utilizzare alcun programma la terna pitagorica che fa per voi e quindi, utilizzando una calcolatrice per il prodotto, trovare la risposta al problema.
E non barate!

Soluzione: Cosé 1000? Semplicemente può essere scritto come $2^3 \cdot 5^3$. A questo punto il problema si riduce a trovare una terna pitagorica la cui somma è un divisore di 1000. La prima terna di questo genere è (8; 15; 17), la cui somma è 40. Poiché 1000/40=25, la terna cercata sarà data da \[200=8 \cdot 25; 375=25 \cdot 15; 425=25 \cdot 17\] E' facile verificare che $a+b+c=1000$, $a^2 + b^2 = c^2$ e $abc = 31875000$.
P.S.: devo confessare che, prima di avere l'illuminante idea dei multipli, ho passato un intero pomeriggio a scrivere numeri ed equazioni alfabetiche!