L'ipotesi di Riemann

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Titolo: L'ossessione dei
numeri primi
Autore: John Derbyshire
Edizione: La biblioteca de
Le Scienze

E proseguiamo con l'esame dell'Ipotesi di Rieman e del libro L'ossessione dei numeri primi.
Il tipo di ricerca che l'Ipotesi ha fatto partire, sui numeri primi e su quanto sono fitti, è in effetti iniziata più come un semplice gioco matematico, ma col tempo ha guadagnato un'importanza che va al di là del semplice diletto: senza considerare tutto quello che John Derbyshire ci propone nel testo, basti pensare al ruolo che i numeri primi hanno assunto nella crittografia: è proprio sui numeri primi che si basano molte delle chiavi di sicurezza più... sicure su internet.
Veniamo, finalmente, all'enunciato dell'Ipotesi:

Tutti gli zeri non banali della funzione zeta hanno parte reale 1/2

dove la zeta di Riemann è data dall'espressione: \[\zeta(s)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+\cdots\] dove la variabile è indicata con la lettera $s$ invece dell'usuale $x$ già nel saggio di Riemann di 150 anni fa, e da allora la consuetudine è rimasta. L'espressione può essere scritta in maniera più concisa, tenendo conto di ognuno degli infiniti termini, utilizzando la sommatoria: \[\zeta(s)=\sum_n n^{-s}\] dove la somma viene fatta da 1 all'infinito.
L'Ipotesi assume importanza nei numeri primi quando ci si accorge che la zeta di Riemann è legata al Teorema dei Numeri Primi (TNP), che stabilisce l'andamento della funzione $\pi (N)$, ovvero la funzione che conta tutti i numeri primi fino a $N$: infatti dimostrare l'Ipotesi vuol dire dimostrare il TNP, mentre il viceversa non è vero (anche perché il TNP è già stato dimostrato). D'altra parte il legame tra questa funzione e i numeri primi era già stato notato da Eulero, che utilizzando un metodo molto simile al crivello di Eratostene trovò la seguente uguaglianza \[\sum_n n^{-s}=\prod_p(1-p^{-s})^{-1}\] dove $\prod_p$ indica il prodotto su tutti i numeri primi $p$.
Altro aspetto importante dell'Ipotesi è la sua capacità di sintesi e fusione tra due aspetti differenti della matematica che portò alla nascita della teoria analitica dei numeri, fusione di analisi e aritmetica.
In ultimo: non ho ancora specificato il campo di appartenenza della variabile $s$: i numeri complessi, numeri che hanno parte reale e parte immaginaria e che possono essere rappresentati non più su una retta ma su un piano. Rispondere alla domanda cosa sono i numeri complessi? vuol dire innanzitutto rispondere alla domanda cosa è un numero immaginario?
Fin dalle scuole elementari ci hanno insegnato che non è possibile fare la radice di un numero negativo. Se la matematica si fosse fermata a questa difficoltà, oggi probabilmente non avremmo quei computer che ci consentono di scrivere e leggere questo articolo. Infatti si definì come unità immaginaria $i = \sqrt{-1}$ e quindi un numero immaginario è un numero reale moltiplicato per $i$ unità immaginaria. A questo punto è semplice definire un numero complesso come $z = a + ib$, dove $a$ e $b$ sono numeri reali detti rispettivamente parte reale e parte immaginaria. L'Ipotesi afferma che le soluzioni non banali dell'equazione $\zeta(s) = 0$ sono numeri del tipo $z = 1/2 + ib$.
Da questo punto in poi la storia decolla: una sfida lanciata a tutto il mondo matematico che verrà raccolta da alcune delle menti più brillanti (tra cui anche il padre del computer, Alan Turing, che in realtà si concentrò sulla dimostrazione della sua falsità, ma solo la sfida contro la macchina Enigma dei nazisti prima, e vari altre ricerche poi, gli impedirono di affrontare l'Ipotesi) e che ha prodotto una sintesi, una serie di teoremi e di risultati numerici importanti (si potrebbe quasi dire che il calcolo numerico ha avuto un grande stimolo, in matematica, proprio grazie a questa ipotesi e all'Ultimo Teorema di Fermat), e ha anche dato vita a una possibile linea di ricerca in fisica. In questo caso il libro, chiaro e leggero, risulta ancora più interessante, visto che fa alcuni collegamenti che generalmente non vengono menzionati nel corso di laurea in fisica. Mi raccomando: leggetelo, perché la matematica sa essere anche interessante e divertente, e poi, come ho scritto, la parte storica è veramente molto ben curata.