Il principio di indeterminazione di Heisenberg

In un estratto del film A serious man condiviso da Peppe Liberti dei fratelli Coen, Larry Gopnik, professore di fisica interpretato da Michael Stuhlbarg, ricava, per la "gioia" dei suoi studenti, il principio di indeterminazione di Heisenberg: \[\Delta q \cdot \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}\] dove $q$ indica la posizione, $p$ il momento, $\Delta$ indica l'incertezza sulla grandezza cui è associata, $\hbar = h / 2$, con $h$ costante di Planck.
In pratica il principio di indeterminazione ci suggerisce che è impossibile conoscere contemporaneamente con la stessa precisione posizione e quantità di moto di una data particella. Lo stesso principio può essere però applicato anche ad altre grandezze, come ad esempio energia e tempo: l'importante è che queste siano coniugate, come si suol dire.
Per rappresentare in termini matematici quanto scritto finora, dobbiamo però fornire alcune definizioni.
Usualmente i numeri, naturali o reali che siano, commutano tra loro, ovvero vale la legge: \[a + b = b + a\] Quando però iniziamo a rappresentare le grandezze fisiche, anche dette osservabili, con oggetti matematici chiamati operatori, questa legge non è verificata per tutte le coppie di operatori. Ad esempio per gli operatori di posizione, $Q$, e quantità di moto, $P$, succede che: \[QP - PQ = i \hbar\] che può essere scritta in forma sintetica come segue: \[\left [ Q,P \right ] = i \hbar\] Più in generale, quando tra due grandezze $A$ e $B$ sussiste una relazione del tipo: \[\left [ A,B \right ] = i c\] allora si verifica la seguente relazione di indeterminazione: \[\Delta A \cdot \Delta B \ge \frac{\left | c \right |}{2}\] Due grandezze fisiche, quindi, si dicono coniugate se i corrispondenti operatori non commutano: per loro vale un principio di indeterminazione sostanzialmente simile al principio di indeterminazione di Heisenberg per posizione e quantità di moto.

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