Andiamo però con ordine seguendo la linea narrativa tracciata per Fiz da Davide Osenda, cartoonist italiano alla sua prima opera, un romanzo a fumetti interessante, intelligente, stimolante e ben approfondito che può contare sulle prefazioni di Piergiorgio Odifreddi, che ha anche fornito una consulenza a Osenda (e che prova a scoprirsi anche critico fumettistico, per l'occasione), e del grande (non solo per la stazza) Andrea Plazzi, curatore della mitica Rat-Man Collection, traduttore ufficiale di Will Einser per l'Italia e, si scopre nella sua prefazione, matematico. Si inizia con i numeri naturali: essi sono infiniti, nel senso che puoi pensare a un numero intero grande a piacere e aggiungendo 1 ne avrai uno ancora più grande. Quindi pensare a un numero ancora più grande e ancora basta aggiungere 1 per andare oltre. Trovare il limite dell'infinito, per sua definizione, quindi, è impossibile, o, come suggerisce il paradosso di Hilbert, riempire l'infinito è sicuramente impossibile.
Il passo successivo è esplorare cosa succede tra un numero naturale e l'altro (ad esempio tra 1 e 2). Il matematico che per primo si spinse in questo abisso fu Georg Cantor: dai suoi studi nacque l'ipotesi del continuo di cui sopra. Il primo risultato di Cantor fu semplicemente la scoperta che i numeri reali compresi tra due numeri naturali successivi (ad esempio tra 1 e 2) sono infiniti. Il metodo utilizzato dal matematico, quello delle diagonali di Cantor, è in pratica un vero e proprio gioco, più difficile a spiegarsi che a farsi. Supponiamo di avere una lista di numeri reali compresi tra 1 e 2, ad esempio. Per aggiungere un nuovo numero reale differente da tutti gli altri alla lista, basterebbe prendere un numero reale la cui prima cifra decimale sia differente dalla prima cifra decimale del primo numero (aggiungendo 1, ad esempio), la cui seconda cifra decimale sia differente dalla seconda cifra decimale del secondo numero e così via fino a scrivere tutte le cifre decimali. La scoperta di Cantor fu che questo gioco è ripetibile all'infinito.
Ed ecco la scoperta più mirabile: l'infinito racchiuso tra due numeri naturali è di ordine superiore: ovvero esistono più numeri reali tra 1 e 2, ad esempio, che numeri interi!
A questo punto per nominare tutti questi infiniti (ne conosciamo già due differenti), Cantor introdusse una nuova lettera, $\aleph$, la lettera aleph, la prima lettera dell'alfabeto ebraico. Abbiamo così $\aleph_0$, l'infinito dei numeri naturali, $\aleph_1$, quello dei numeri reali, e così via verso altri infiniti di ordine sempre crescente. Cantor è quindi pronto a formulare l'ipotesi del continuo:
Non esiste nessun insieme la cui cardinalità è strettamente compresa fra quella dei numeri interi e quella dei numeri reali.In pratica non è possibile realizzare anche per i vari ordini di infinito un giochetto simile a quello fatto per i numeri interi, ovvero non possono esistere degli infiniti tra due $\aleph$ successivi. Per affermare questo, però, abbiamo necessità di ordinare gli infiniti in maniera crescente, da quello più piccolo fino a quelli sempre più grandi. In questo compito viene in aiuto l'assioma della scelta di Ernst Zermelo, che insieme con la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel, costituisce l'apparato matematico al cui interno opera l'ipotesi di Cantor.
Questo assioma, che viene esaminato da Winkler nella baita in montagna nella quale si rifugia per sfuggire ai nazisti, ha dunque una parte importante nella storia, pertanto vale la pena leggerne l'enunciato:
Data una famiglia non vuota di insiemi non vuoti esiste una funzione che ad ogni insieme della famiglia fa corrispondere un suo elemento.Può essere esemplificato utilizzando l'esempio classico, utilizzato dallo stesso Osenda all'interno del secondo capitolo. Supponiamo di avere un insieme costituito da scarpe. A partire da questo insieme costruiamo un secondo insieme costituito da tutte le scarpe destre: questo è possibile perché siamo in grado di scegliere la scarpa destra da ciascun paio. Se invece abbiamo un insieme costituito da calzini, ci troviamo di fronte a una certa difficoltà nell'estrarre un insieme costituito dai calzini destri, per il semplice motivo che non ha senso parlare di calzino destro o sinistro, però grazie all'assioma della scelta siamo sicuri che è sempre possibile determinare un sottoinsieme dei calzini, pur non sapendo in quale modo precisamente.
All'interno di questo apparato teorico si inserisce Kurt Gödel, giovane matematico e logico tedesco che agli inizi degli anni Trenta aveva messo in mano alla matematica gli strumenti per distruggere se stessa. La storia di Gödel, in effetti, inizia nel 1910, un secolo fa, con l'uscita dei Principia di Bertrand Russell: un'opera che sembra sistematizzare la matematica in maniera definitiva. Eppure appena 20 anni più tardi, nel 1930, quando Gödel sottometterà il suo epocale articolo, che verrà poi publiccato l'anno dopo, la matematica subisce un duro colpo, dal quale comunque sopravvive: i teoremi di incompletezza.
Secondo la teoria di Gödel la matematica non può dirsi completa perché al suo interno nascono alcune strutture, alcune affermazioni che sfuggono alla matematica stessa. Queste sono affermazioni dette indecidibili, perché per quanto vere è impossibile dimostrarle e d'altra parte non possono nemmeno essere incluse all'interno degli assiomi. In pratica sono affermazioni che non è dato sapere se siano vere o false. Forte di questa scoperta, nel 1940 Gödel dimostra che, all'interno della teoria di Zermelo-Fraenkel, includendo anche l'assioma della scelta, l'ipotesi del continuo non può essere dimostrata falsa.
Passano 23 anni, siamo nel 1963, e Paul Cohen sembra chiudere definitivamente la storia, dimostrando che, all'interno della medesima struttura teorica, l'ipotesi del continuo non può essere dimostrata vera: sembra quindi che la scoperta di Cantor sia una delle tante affermazioni indecidibili presenti all'interno della matematica.
La conclusione del fumetto di Osenda, 6 tavole quasi completamente mute (nessuna vignetta e solo suoni), avviene proprio in quel 1963 quando Winkler riceve da un amico, Albert, la rivista con l'articolo originale di Cohen, l'American Journal of Mathematics, e una paginetta di accompagnamento. Winkler, a quel punto, schizza un disegno di teoria degli insiemi che riassume perfettamente l'intera vicenda: in quello schizzo sembra, infatti, fare capolino il gatto del Cheshire e il suo enigmatico sorriso.
Le curiosità matematiche, volute o meno che siano, non finiscono qui: nell'ultima tavola, infatti, nella striscia centrale, il movimento delle veneziane che vengono alzate da Winkler per far entrare la luce nello studio, sembrano riassumere in appena tre vignette l'essenza della scoperta di Cantor e della compressione di così tanti infiniti uno nell'altro.
Per un'intervista a Osenda e maggiori dettagli tecnici non mi resta che rimandarvi all'articolo di Davide Occhicone. Dell'Ultima lezione hanno parlato anche: Annarita Ruberto, Maurizio Codogno, lo zar Roberto Zanasi (di cui vi consiglio anche Verso l'infinito (ma con calma) - attenzione: è un pdf), i Rudi nel numero 131 della loro rivista mensile, e l'immenso Andrea Plazzi. Se mi è sfuggito qualcun'altro, i commenti sono il luogo giusto per segnalare.
Appendice: Osenda non ha, giustamente, inserito le ultimissime novità sull'ipotesi del continuo. Sono proposte ancora dibattute, la cui possibilità di essere vere è legata proprio all'attuale stato di indecidibilità della proposizione. Andiamo, però, con ordine.
Tra Godel e Cohen, si inserisce Wacław Sierpiński: alcuni dei suoi risultati, infatti, sembrerebbero contrari all'ipotesi del continuo, pur se l'autore non si schiera formalmente contro. Alcuni decenni più tardi Stuart Davidson suggerisce a Chris Freiling che forse nel lavoro di Sierpiński potrebbero esserci delle affermazoni contrarie all'ipotesi. Freiling le fa sue e propone un assioma, l'assioma della simmetria di Freiling, che dovrebbe dimostrare la negazione dell'ipotesi del continuo. Le affermazioni di Freiling, però, non trovano riscontro negli altri matematici. Il suo articolo è stato pubblicato nel 1986 sul Journal of Symbolic Logic.
Al gruppo si unisce William Hugh Woodin, secondo cui, all'interno di un particolare modello (o universo) matematico, l'ipotesi del continuo può essere dimostrata vera. Il lavoro, uscito nel 2001 in due articoli su Notices of the AMS (The Continuum Hypotesis, scaricabile in un unico file), ha suscitato un certo interesse: in particolare Matt Foreman in un seminario dei Logic Colloquium, conferenza tenutasi a Helsinki nel 2003, pur mostrando vivo interesse, suggerisce cautela nell'accettazione dei risultati di Woodin.
La storia del primo problema di Hilbert, quindi, non sembra ancora essersi conclusa, anche se al momento ci accontentiamo del suo status di indecidibilità.
P.S.: le immagini del fumetto inserite in questo articolo sono tratte dal primo capitolo, presente sul sito dei Rudi con licenza Creative Commons. Questo primo capitolo ha partecipato al 5.o Carnevale della Matematica.
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