I problemi di Hilbert

David Hilzbert

L'8 agosto del 1900 al Congresso internazionale dei matematici tenutosi a Parigi nella prestigiosa Sorbona David Hilbert fece un lungo intervento d'apertura dei lavori, indicando quelli che a suo parere dovevano essere i problemi più urgenti da risolvere nel corso del XX secolo.
A causa della lunghezza del suo discorso, parlò solo di 10 dei 23 problemi che aveva identificato: 1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, e 22. La lista completa venne pubblicata successivamente tra gli atti del congresso. Con il suo discorso e l'indicazione dei problemi, Hilbert diede una linea di pensiero e di ricerca alla matematica del XX secolo, segnandone di fatto tutto il cammino. Di tutte le questioni indicate dal matematico di Gottinga, l'università dove insegnava, due restano ancora aperte: l'ipotesi di Riemann e l'estensione del teorema di Kronecker a campi algebrici arbitrari. Per altri 8 la risoluzione è stata parzialmente accettata, 4 sono troppo vaghi e generali, uno (la determinazione delle soluzioni generali di un'equazione diofantea) è irresolubile, un altro (per $a \not= 0,\, 1$ algebrico e $b$ irrazionale, $a^b$> è sempre trascendente) è risolto parzialmente, mentre i rimanenti sono tutti risolti.
Torniamo, però, al discorso di Hilbert leggendone alcuni passaggi:

Chi di noi non vorrebbe essere lieto di sollevare il velo dietro il quale il futuro rimane nascosto; di gettare un'occhiata ai prossimi avanzamenti della nostra scienza e ai segreti del suo sviluppo durante i secoli futuri? Quali particolari obiettivi ci saranno attraverso i quali gli spiriti guida della matematica delle future generazioni si ingegneranno? Quali nuovi metodi e nuovi fatti nell'ampio e ricco campo del pensiero matematico rivelerà il nuovo secolo?
La storia ci insegna la continuità dello sviluppo della scienza. Sappiamo che ogni era ha i suoi particolari problemi, che l'era seguente risolve o mette da parte come poco promettenti e li sostituisce con nuovi. Se otterremo un'idea del probabile sviluppo della conoscenza matematica nell'immediato futuro, dobbiamo lasciare che le domande insolute passino prima la nostra mente e guardare poi ai problemi che la scienza di oggi propone e la cui soluzione aspettiamo dal futuro. Una tale revisione dei problemi di oggi, giacenza al meeting del secolo, mi sembra quanto più adatta. La chiusura di una grande epoca non solo ci invita a guardare indietro nel passato ma anche a dirigere i nostri pensieri all'ignoto futuro.
Il profondo significato di alcuni problemi per l'avanzamento della scienza matematica in generale e il ruolo importante che giocano nel lavoro dei singoli ricercatori non deve essere negato. Quanto più una branca dela scienza offre un'abbondanza di problemi, tanto più a lungo vive; una mancanza di problemi prefigura l'estinzione o la cessazione dello sviluppo indipendente. Così come ogni uomo intraprendente persegue certi obiettivi, così anche la ricerca matematica richiede i suoi problemi. E' dalla soluzione dei problemi che l'investigatore testa la tempra del suo acciaio; egli cerca nuovi metodi e nuovi sguardi, e guadagna un più ampio e più libero orizzonte.

Questa prima parte introduttiva è comunque abbastanza generale e potrebbe essere adattata molto semplicemente ad ogni scienza. Successivamente Hilbert prosegue entrando nel dettaglio della matematica, iniziando con quello che è oggi noto come l'ultimo teorema di Fermat, secondo cui l'equazione diofantea \[x^n + y^n = z^n\] non ha soluzioni per $n > 2$ e con $x$, $y$, $z$ interi: ovvero non esiste una terna fermatiana, l'equivalente della terna pitagorica nel caso $n = 2$.
Successivamente cita il problema dei tre corpi nella meccanica celeste e le difficoltà nel risolverlo. Segue quindi un lungo discorso incentrato sulla matematica, sulla forza delle sue idee e su come le risoluzioni ai vari problemi hanno in pratica consentito lo sviluppo della conoscenza matematica.
A questo punto Hilbert, dopo il lungo discorso, costretto a tagliare, limita i problemi che propone al consesso matematico, salvo poi pubblicarli tutti e 23 negli atti del congresso. Questa la lista completa:

1. l'ipotesi del continuo;
2. la compatibilità degli assiomi aritmetici;
3. la congruenza tra due volumi di due tetraedri di base uguale e altezza uguale;
4. il problema della linea retta come la distanza più breve tra due punti (geometrie alternative);
5. il concetto Lie di gruppo continuo di trasformazioni senza la differenziabilità (i gruppi continui sono automaticamente differenziabili?);
6. trattazione matematica degli assiomi fisici;
7. irrazionalità e trascendenza di alcuni numeri;
8. il problema dei numeri primi (l'ipotesi di Reimann);
9. dimostrare la generalizzazione della legge di reciprocità per ogni campo numerico;
10. determinare la risolubilità di un'equazione diofantea;
11. forme quadratiche con qualsiasi coefficiente algebrico;
12. estensione del teorema di Kronecker ad ogni campo algebrico;
13. impossibilità delle soluzioni di un'equazione generale di 7.mo grado utilizzando funzioni con due soli argomenti;
14. dimostrazione della finitezza di alcuni sistemi completi di funzioni;
15. fondazione rigorosa del calcolo enumerativo di Schubert;
16. il problema della topologia di curve e superfici algebriche;
17. espressione di forme definite tramite quadrati;
18. costruire spazi da poliedri congruenti;
19. le soluzioni dei problemi regolari nel calcolo delle variazioni sono sempre necessariamente analitiche?;
20. il problema generale dei valori al contorno;
21. dimostrare l'esistenza di equazioni differenziali lineari aventi un prescritto gruppo monodromico;
22. uniformare le relazioni analitiche attraverso funzioni automorfiche;
23. ulteriore sviluppo del metodo del calcolo delle variazioni.

Interessante notare come i problemi 4, 6, 16, 23, siano così generali da non poter avere una soluzione definitiva, se non nella conclusione del percorso di ricerca corrispondente.
Insomma un discorso importante che ha in pratica indicato molti dei problemi cui i matematici hanno cercato di dare risposta e, come nel caso dell'ultimo teorema di Fermat, nel tentativo hanno sviluppato anche della nuova matematica, nuovi strumenti utili per nuove astrazioni, nuove costruzioni, nuove applicazioni. La bellezza della matematica sta anche nella grandezza degli uomini che sanno vedere il futuro e lo indicano agli altri grazie alla forza delle loro intuizioni, e uno di questi grandi uomini fu proprio David Hilbert.