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lunedì 15 giugno 2009

La matematica in gioco: Sul Carnevale della Matematica e il Project Euler

E giunse, puntuale come ogni mese, il 14.mo Carnevale della Matematica. Ospitato da Matematica 2005, questa volta, mi sembra, un po' in tono minore: sarà la primavera che se ne va, sarà il caldo che avanza, sarà l'antigelo che non funziona poi molto bene vista l'assenza del gelo, questa volta le segnalazioni sono pochine. D'altra parte prima o poi il 14.mo carnevale doveva arrivare e un po' tutti sembra si sono fatti trovare impreparati alla doppia ricorrenza.
Se facciamo una piccola ricerca sul 14, però, scopriamo alcune cose interessanti: innazitutto è il numero atomico del silicio, che è di casa in questi nostri lidi elettronici; quindi è il terzo numero quadrato piramidale: 14 = 1 + 4 + 9; è anche il numero massimo totale di giocatori che possono giocare una partita ufficiale di calcio.
Concentriamoci, però, sul numero piramidale, perché ci consentirà di risolvere il Problema n.6 del Project Euler. Il problema n.6 recita, più o meno, così:
La somma dei quadrati dei primi dieci numeri è 385, mentre il quadrato della somma dei primi dieci numeri è 3025.
Trovare la differenza tra il quadrato della somma e la somma dei quadrati dei primi 100 numeri.
I numeri piramidali quadrati fanno proprio al caso nostro: tali numeri sono definiti come la somma dei quadrati dei primi $n$ numeri interi: \[Q_n = \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\] Allora, utilizzando la formula per i numeri triangolari, già utilizzata per il Problema n.1, combinata con quella per i numeri piramidali quadrati otteniamo la risposta al nostro problema: \[R_{100} = T_{100}^2 - Q_{100}\] che risulta una soluzione molto elegante per il Problema n.6, che i più arguti di voi ricorderanno che vi avevo già proposto.
Ritornando al Carnevale, vi ricordo che per leggere l'elenco dei passati Carnevali e prenotarsi, fate riferimento a Matematti.
Alla prossima!

domenica 14 giugno 2009

Il pendolo di Skoda

Nel 1583 Galileo Galilei scoprì l'isocronismo del pendolo. La leggenda vuole che Galilei ebbe l'intuizione osservando le oscillazioni di una lampada nella navata centrale del Duomo di Pisa. A quel punto ecco il pendolo, uno strumento semplicissimo costituito da una corda e da un pesetto legato a un capo del filo, mentre l'altro viene fissato.
Il pendolo è però uno strumento complesso da studiare ed è possibile trovare una soluzione semplice al problema, la periodicità delle oscillazioni, solo se si fa l'approssimazione delle piccole oscillazioni.
In questo caso la legge per calcolare il periodo è data dall'equazione: \[T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\] dove $T$ è il periodo di oscillazione, $l$ la lunghezza del filo e $g$ l'accelerazione di gravità.
Come si può notare il periodo di oscillazione non dipende dalla massa del pesetto, ma solo dalla lunghezza del filo: questa equazione può essere determinata con dei calcoli o nello stesso modo con cui la scoprì Galileo (anche se per scriverla non usò lo stesso simbolismo, ma la descrisse a parole), ovvero con dei semplici esperimenti.

giovedì 11 giugno 2009

Archeologia astronomica

Il 1609 fu un anno magico per l'astronomia, ma questo ormai si sa: Galileo Galilei e Johannes Keplerrivoluzionarono lo studio dei cieli e la comprensione del moto dei pianeti con osservazioni accurate come mai prima (Galilei) e calcoli e leggi ancora oggi validi (Kepler). Tutto nasceva dall'osservazione delle supernove: fu proprio una di queste, nel 1604, che fece interessare Galilei del cielo, e furono quelle del 1609 che spinsero i due scienziati, separatamente, ad occuparsi di misteri fino a quel momento affidati alla religione e ai filosofi aristotelici.
Di eventi di questo genere (esplosioni in cui la stella esplodente espelle parte della sua massa, cambiando in molti casi anche la sua stessa densità) nella storia dell'universo ce ne sono quante le stelle nel cielo, e alcuni di questi sono stati registrati anche prima dell'era di Galileo: ad esempio nella primavera del 1006, gli astronomi osservarono quella che si può definire come la più brillante supernova ricordata nella storia. Giusto 48 anni dopo una nuova supernova nella Nebulosa del Granchio: la nostra attuale conoscenza di questi eventi del passato è basata sui calcoli di astronomi cinesi e arabi, passando per le osservazioni moderne dei resti delle supernove.

mercoledì 10 giugno 2009

In principio era Darwin


Titolo: In principio era Darwin
Autore: Piergiorgio Odifreddi
Edizione: Longanesi
Che cosa impedisce che i rapporti fra le differenti parti del corpo umano siano puramente accidentali? Gli incisivi, per esempio, sono taglienti e servono a spezzare il cibo, mentre i molari sono piatti e servono a masticarlo: essi però non sono stati fatti con questo scopo, e la loro forma è il risultato di un caso. Lo stesso vale per tutte le parti del corpo che sembrano essere naturalmente destinate a qualche scopo particolare: quelle costruite in maniera adatta grazie a una loro interna spontaneità si sono conservate, mentre quelle non costituite in tal modo sono perite e continuano a perire.
(Aristotele in Fisica II,8,2)
La citazione è tratta da In principio era Darwin di Piergiorgio Odifreddi, che ovviamente prima o poi avrei letto.
Ero stato alla presentazione del suo libro, alla Feltrinelli di Piazza Piemonte in quel di Milano, quindi era solo questione di tempo, affrontare la lettura del suo ultimo saggio.
Il logico di Torino si dimostra per l'ennesima volta un abile divulgatore e persona di grande e vasta cultura (a dimostrazione la citazione che apre la recensione), con quel suo stile scorrevole e ironico: ottimi i capitoli in cui racconta il viaggio di Charles Darwin, le sue ricerche, il suo rapporto con i suoi colleghi naturalisti. Scontati, alla fine, i capitoli sugli attriti tra Darwin e il mondo religioso e creazionista, in cui comunque Odifreddi cerca comunque di mantenere una visione distaccata, cosa che gli riesce per poche pagine.
Nel complesso, quindi, un'opera divertente, ben argomentata e anche sufficientemente approfondita: un ottimo punto di partenza per chiunque voglia conoscere l'evoluzione di Darwin, ma anche un libro snello, stimolante e stuzzicante.