La matematica in gioco: La somma dei numeri compresi tra due interi dati

Nella ricerca che avevo condotto per scrivere il primo post ispirato al Project Euler, oltre ad aver scoperto un altro paio di post che affrontavano il primo problema con algoritmi, ne avevo anche scoperto uno interessantissimo di Dario Casertano sulla somma di tutti i numeri interi compresi tra due estremi dati.
E' possibile ricavare la formula di Dario a partire dall'aritmogeometria pitagorica: basta semplicemente sommare tutti i numeri fino all'estremo maggiore, sottrargli gli interi fino all'estremo inferiore e avere cura di sommare l'estremo inferiore, altrimenti eliminato dalla somma. In formule matematiche, detti $n_2$ l'estremo superiore ed $n_1$ quello inferiore, si ottiene \[n_2 \frac{n_2 +1}{2} - n_1 \frac{n_1 +1}{2} + n_1 = \frac{(n_2-n_1+1)(n_2+n_1)}{2}\] che è la formula ottenuta da Casertano!
L'emozione è tanta e la potenza della matematica anche: ha consentito di ottenere lo stesso risultato utilizzando due ragionamenti differenti, entrambi altrettanto validi e corretti: in questo senso fa ridere la diatriba tra Casertano e un suo lettore su chi ha ottenuto la formula migliore, considerato che entrambe sono vecchie quanto la matematica, anche se giovani quanto chi le ha riscoperte.
Comunque Dario, nel suo post, ricava con una serie di brillanti ragionamenti logici e passaggi matematici, una formula che gli consente di determinare tale somma: emozionato per aver risolto il problema senza l'uso del computer, utilizza il suo esempio per sottolineare una differenza fondamentale tra il programmatore, che parte lancia in resta utilizzando il cannone, e uno sviluppatore. Personalmente avrei allargato il confronto tra un programmatore qualsiasi (preferibilmente aziendale!) e uno scienziato: quest'ultimo, abituato anche a cercare la soluzione più semplice, nel suo percorso di ricerca, laddove possibile, prova a scoprire strade semplici per risolvere problemi complessi, o quanto meno per semplificarli e ridurre all'essenziale ogni utilizzo di computer e algoritmi.
Diverso, invece, il caso di altri due post, comunque interessanti, ma concentrati solo sugli aspetti algoritmici del primo problema: Problemi, gare e algoritmi e di Progetto Eulero: Problema 1.