La banda dei piombatori

Topolino, di ritorno dalle imprese su mare durante Cacciatore di balene, è in cerca di lavoro e riesce a trovare impiego presso un idraulico, il piombatore, termine arcaico, del titolo. L'ambiguo, flemmatico personaggio altri non è che Giuseppe Tubi, ex attore, come si scoprirà alla fine della storia, che si ricicla come ladro che interpreta, con scarso successo, il ruolo dell'idraulico. Gli effetti sono esilaranti: tubi montati alla rovescia, o che arrivano a pescare il petrolio in chissà quale posto nascosto del paese e altre gag di questo genere.
Ma quali sono i principi dell'arte idraulica? Sono tutti riassunti nel famoso teorema di Bernoulli:

In un fluido ideale in moto con regime stazionario la somma della pressione, della densità di energia cinetica (energia cinetica per unità di volume) e della densità di energia potenziale (energia potenziale per unità di volume) è costante lungo il condotto, ovvero lungo un qualsiasi tubo di flusso.

E in termini matematici \[p + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g z = \text{costante}\] dove \(\rho\) è la densità del fluido, \(v\) la velocità, \(g\) l'accelerazione di gravità, \(z\) la quota rispetto allo zero di energia potenziale scelto.
Nel caso di condotto orizzontale, la densità di energia potenziale è nulla.

Se invece è la velocità a essere nulla si ottiene la legge di Stevino: \[p + \rho g z = \text{costante} = p(z)\] ovvero:

In un liquido a densità costante la pressione cresce linearmente con la profondità.

Applichiamo ora il teorema di Bernoulli a un tubo, orizzontale, a sezione variabile, il così detto tubo di Venturi. Indicando con \(S_1\) la prima sezione, con \(S_2\) la seconda, il teorema di Bernoulli può così essere scritto: \[p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2\] Ricordando poi che, in caso di regime stazionario, la portata, definita come il prodotto tra la velocità del fluido e la sezione, è costante (questo fatto potete verificarlo semplicemente: basta prendere un tubo flessibile, attaccarlo al rubinetto e aprire l'acqua; vedrete molto facilmente che la velocità di uscita del getto varierà modificando la sezione finale del tubo), a questa equazione si deve aggiungere anche \[v_1 S_1 = v_2 S_2\] Facendo un po' di conti si trova che \[v_2^2 = \frac{2 (p_1 - p_2)}{\rho} \frac{S_1^2}{S_1^2 - S_2^2}\] Questo vuol dire che semplicemente eseguendo due misure sulla pressione è possibile, note le sezioni, risalire alle velocità e dunque alla portata del tubo.
Grazie al teorema di Bernoulli è poi possibile spiegare il così detto paradosso idrodinamico, ovvero un comportamento controintuitivo: supponiamo di avere un tubo pieno di aria in movimento alla cui estremità viene posto un dischetto. Sapendo che l'aria all'esterno è immobile, ci si aspetterebbe che il tubo venga scagliato verso l'esterno, ma così non è. Il motivo è semplice: secondo il teorema di Bernoulli \[p + \frac{1}{2} \rho v^2 = p_{Atm}\] e quindi la pressione all'inerno del tubo è inferiore rispetto a quella atmosferica.

Infine: sicuramente qualcuno di voi attenti lettori avrà notato la forma che prende l'acqua cadendo da un foro alla base di un recipiente. Ebbene anche questa forma può essere in parte ritrovata applicando il teorema di Bernoulli.
Innanzitutto, partendo dalla conservazione del momento angolare, si ricava che la velocità dell'acqua a distanza r dall'asse del foro è \[v = \frac{v_{in} r_{in}}{r}\] dove \(v_{in}\) è la velocità iniziale e \(r_{in}\) la posizione iniziale rispetto all'asse.
A questo punto supponiamo di poter trattare la superficie del liquido come una sorta di tubi di flusso uno attaccato all'altro. Per ciascuno di questi tubi, allora, possiamo applicare il teorema di Bernoulli: \[p_{Atm} + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gz = \text{costante}\] e, incorporando tutte le costanti in una sola che chiamiano \(h\): \[\frac{v^2}{2g} + z = h\] Da questa, sostituendo la velocità, si ricava l'equazione della forma dell'acqua: \[z = h - \frac{v_{in}^2 r_{in}^2}{2g} \frac{1}{r^2}\] Chissà se queste cose le aveva studiate Tubi per entrare nella parte dell'idraulico?