Il problema del trasporto

Il problema del trasporto, così come formulato da Gaspard Monge nel 1781, si interroga su cosa succede quando si sposta una massa da un punto a un altro dello spazio. In un problema del genere bisogna tener conto della densità di massa, dei sottospazi in cui si trovano i due punti, $x$, $y$, e gioca un ruolo importante la così detta funzione dei costi, che in uno spazio euclideo viene definita con dalla norma usuale. Problemi di questo genere e la matematica sviluppata per risolverli, trovano svariate applicazioni: economia, analisi funzionale, probabilità e statistica, meteorologia e varie altre. Interessante, poi, come si potrebbe studiare in quest'ottica del problema del trasporto la riflessione su una superficie parabolica come un radar.
Un problema del genere, quindi, mostra una matematica più o meno complessa, ingredienti comunque semplici, una base fondamentalmente fisica, come d'altra parte alcune delle sue applicazioni, diventando così un argomento decisamente pluri-disciplinare.
E' con l'esame di questo problema che Neil Trudinger⁽¹⁾, professore dell'Australian National University ha deliziato la platea intervenuta ad assistere a Optimal transportation in the 21st century, ultimo seminario delle Lezioni Leonardesche, edizione 2009 (pdf). Al di là dei problemi del microfono (uno di quelli che si agganciano all'attaccatura della camicia, con l'acustica influenzata dai movimenti della persona che lo indossa), Trudinger sintetizza l'argomento con una interessante introduzione storica per poi passare alle diapositive più specifiche con definizioni matematiche ed equazioni. Interessante, negli strumenti utilizzati, anche l'uso dei tensori, ovvero di una matematica utilizzata nella relatività generale. In sintesi un argomento che effettivamente avvicina matematica e fisica, soprattutto considerando l'esempio del radar proposto durante il seminario.

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(1) Neil Trudinger holds a Professorship in the Center for Mathematics and its Applications at the Australian National University and is one of the most recognized names in the field of nonlinear elliptic partial differential equations. His numerous seminal contributions include solvability theory for the Dirichlet problem, maximum principles and Harnack inequalities for quasilinear equations as well as the ground breaking paper on embeddings of Sobolev spaces into Orlicz spaces which lies at the heart of the notion of critical growth in nonlinear equations of dimension two. These works, amongst others, have earned him numerous recognitions including being the first recipient of the Australian Mathematical Society Medal. His 1977 book "Elliptic Partial Differential Equations"(co-authored with David Gilbarg) is one of the most influential textbooks ever written: it continues to be the most highly cited mathematical textbook of the last ten years and earned him the AMS Steele Prize for Exposition in 2008.