La sfera di Matem@ticamente: Raccolta la sfida

Annarita Ruberto lancia una nuova sfida matematica, che io da buon fisico questa volta raccolgo. Come potrete immaginare dall'immagine a corredo, la sfida e la mia soluzione sono legate al principio di Archimede. Andiamo, però, con ordine:
Se immergo un corpo in un fluido, esso subirà una spinta dal basso verso l'alto pari al peso del fluido spostato. In formule $$S = P_f = \rho_f V_s g$$ dove $\rho_f$ è la densità del fluido, $V_s$ il volume spostato, $g$ l'accelerazione di gravità.
La forza totale che agisce su un corpo immerso sarà quindi: $$F_{tot} = \rho_c V_s g - \rho_f V_s g$$ dove $\rho_c$ è la densità del corpo.
Con questi ingredienti, esaminiamo il problema proposto da Annarita: la forza che agisce sulla sfera immersa nel cilindro sarà $$F_{tot} = \rho_S V_S g - \rho_a V_S g$$ dove $\rho_S$ è la densità della sfera, $\rho_a$ quella dell'acqua, $V_S$ il volume della sfera.
Il peso del cilindro (inteso come la forza peso del cilindro) sarà invece dato da $$P_C = T + \rho_a V_C g$$ dove $T$ è la tara, $V_C$ il volume del cilindro.
Una volta immersa la sfera nel cilindro, il suo peso aumenta di 20 Kg (ricordo che la sfera pesa invece il doppio, 40 Kg). Possiamo allora scrivere la seguente equazione: $$P_C - P_a + F_{tot} = P_C + 20 \, kg \cdot g$$ dove $P_a$ è il peso dell'acqua espulsa dal cilindro dopo aver completato l'immersione della sfera. L'equazione comunque rappresenta questa situazione: a sinistra vengono inseriti gli ingredienti, ovvero il peso del cilindro meno quello dell'acqua espulsa più la forza che agisce sulla sfera⁽¹⁾; a destra il peso del cilindro più quello corrispondente ai 20 Kg in più.
Prima di eseguire i calcoli analitici, valutiamo il peso dell'acqua espulsa, che è identico a quello dell'acqua spostata⁽²⁾: $$P_a = \rho_a V_S g$$ Considerando che 20 Kg = 40 Kg/2, ovvero 20 Kg = $mS/2$, l'equazione risolutiva diventa: $$\left ( \rho_S - 2 \rho_a \right ) V_S = \frac{1}{2} m_S$$ da cui si ricava facilmente che $$\rho_S = 4 \rho_a$$ mentre il volume del cilindro è dato dalla relazione $$V_C = \frac{3}{2} \frac{m_S}{\rho_S}$$ A questo punto bisogna solo mettere nelle equazioni i dati del problema, ottenendo le risposte richieste da Annarita.
Ovviamente se dovessero esserci degli errori nel ragionamento o nello svolgimento, siete invitati a segnalarli nei commenti.

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(1) Dobbiamo innanzitutto considerare che l'immissione della sfera ha espulso una certa quantità d'acqua, e quindi questo peso va sottratto, e poi a questo dobbiamo aggiungere il peso immerso della sfera, differente rispetto al peso effettivo a causa della spinta di Archimede.
(2) Ciò viene assicurato dal fatto che l'immersione della sfera è avvenuta lentamente.