Torniamo, però, alla congettura: una sua descrizione, con tanto di associazione alla Divina Commedia di Dante Alighieri viene proposta proprio dallo zar nell'articolo La 3-sfera, un delizioso dialogo che nell'ultima parte è alternato dai versi della Commedia e dai suoi rapporti con la matematica. La congettura, in soldoni, coninvolge uno spazio in 4 dimensioni e una sfera immersa in questo spazio, ma non una sfera usuale, ma il suo corrispondente quadri-dimensionale, la così detta 3-sfera.
Ogni 3-varietà chiusa e semplicemente connessa è omeomorfa a una 3-sfera.Come già per il teorema di Noether, anche in questo caso cerchiamo di gettare un po' di luce sui concetti utilizzati nell'enunciato.
Iniziamo con la varietà. Questo oggetto matematico venne introdotto da Bernhard Riemann nel 1851 nella sua tesi di dottorato: egli aveva necessità di introdurre grandezze particolari, aventi più dimensioni, interessandosi così delle geometrie non euclidee. Le varietà, in effetti, sono degli oggetti particolari, dei veri e propri spazi su cui la geometria euclidea è valida solo su piccole porzioni, ma perde di validità man mano che si osserva una porzione maggiore della varietà. Una varietà tridimensionale è ad esempio la sfera: un triangolo tracciato su una sfera, infatti, presenta una somma di angoli interni pari a 230°, mentre nel piano la somma è l'usuale 180°. Quindi mentre la superficie della sfera nel suo complesso è governata da una geometria non euclidea, una sua piccola porzione è invece in tutto e per tutto uno spazio euclideo: più semplicemente si potrebbe quindi dire che una varietà è uno spazio le cui proprietà geometriche variano in base alla scala con lui lo si sta guardando.
Si accennava prima, nella definizione di connessione, del concetto di chiusura (e per contro di quello di apertura). Questo concetto ha quindi una certa rilevanza e per chiarirlo proviamo a fare un esempio. Prendiamo uno spazio metrico $X$, ovvero uno spazio dove è possibile definire una distanza $d$ tra due punti $x$, $y$ dello spazio. Prendiamo adesso un sottospazio $M$ di $X$: possiamo definire la distanza di un qualsiasi punto $a$ dallo spazio $M$ come la minima distanza di $a$ dai punti $x$ di $M$. La chiusura di $M$ sarà costituita da tutti i punti di $X$ la cui minima distanza da $M$ è nulla. Alla chiusura di $M$ appartengono sicuramente tutti i punti di $M$ (ogni suo punto, infatti, è a distanza nulla da se stesso), cui va aggiunto quello che possiamo definire come il bordo di $M$. Un sottospazio, quindi, si può definire chiuso se coincide con la sua chiusura.
L'ultimo concetto che ci resta da esaminare è l'omeomorfismo. Innanzitutto definiamo il concetto di applicazione: essa è una funzione dello spazio che ad ogni punto $x$ dello spazio associa un punto $f(x)$. Una applicazione $f$ è detta omeomorfismo se è uno-a-uno (ovvero se ad ogni $x$ associa un unico $f(x)$) e se preserva l'operazione di chiusura, ovvero trasforma la chiusura di un sottospazio nella chiusura del trasformato: \[f \left( \overline M \right ) = \overline{f (M)}\] Un omeomorfismo è dunque una trasformazione dello spazio che non ne cambia le proprietà.
Ora che, quindi, abbiamo (più o meno) gli strumenti per comprendere la congettura. Fondamentalmente la congettura di Poincaré afferma, nella prima parte: una qualunque forma geometrica (una 3-varietà) chiusa e senza buchi in uno spazio di 4 dimensioni è identica (nel senso di cui sopra) ad una sfera in 4 dimensioni (una 3-sfera), ovvero esiste un qualche modo che consente di trasformare la prima nella seconda.
La congettura, però, si completa con la domanda che si pose Henri Poincaré. Nel 1900 il matematico francese riteneva che l'omologia, strumento matematico che aveva sviluppato a partire dal lavoro di Enrico Betti, fosse sufficiente per distinguere se una 3-varietà fosse una 3-sfera o meno. Pochi anni più tardi, però, nel 1904, lo stesso Poincaré presentò un controesempio, in cui per operare la distinzione tra la varietà proposta, quella che poi passò alla storia come la sfera di Poincaré, e una 3-sfera, aveva la necessità di introdurre un nuovo oggetto, una nuova così detta invariante topologica, ovvero una quantità dello spazio che non varia sotto l'azione di un omemorfismo. Grazie a questa introduzione, poté concludere che per quanto omeomorfici, i due spazi presi in esame non erano perfettamente identici.
La domanda che si pose alla fine del lavoro e completa la congettura è:
Prendiamo una varietà senza bordo: è anch'essa omeomorfica a una 3-sfera?Ovvero ci si chiede se esiste un qualche modo per trasformare una 3-varietà senza bordo in una 3-sfera. La risposta è si e la dimostrazione è stata realizzata da Perelman, in tre articoli caricati su arXiv: oltre a quello citato in apertura, sono infatti da aggiungere Ricci flow with surgery on three-manifolds e Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds.
Di Perelman e della sua dimostrazione parlò a suo tempo Dana Mackenzie su Science. L'annuncio ufficiale del premio, invece, è stata rilanciata da un po' di siti in giro per la rete. In particolare su Not even wrong spuntano i primi dubbi sul fatto che Perelman andrà a ritirare il premio:
According to alexbellos on Twitter, Carlson says that Perelman has been informed of the award of the prize, but there has been no response yet from him about whether he will accept it.ovvero non ha ancora risposto se lo accetterà!
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