Assegnato il primo Premio del Millennio

Il primo articolo era uscito da poco meno di quattro anni (The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications) quando ne sentii parlare per la prima volta. Ero a Praga per il congresso Integrable Systems, edizione 2007. Dopo la conclusione del congresso sono andato in giro per la città insieme con Orlando Ragnisco e Piergiulio Tempesta, matematico di gran valore al momento a Madrid presso la Universidad Complutense. In attesa di entrare in uno dei tanti musei presenti nella città (non chiedetemi in quale, non lo ricordo!), in quel periodo aperti e visitabili gratuitamente, ecco che, tra un commento sul congresso e qualche curiosità matematica, spuntare una piccola storia sulla congettura di Poincaré: un matematico russo era riuscito a dimostrarla con una serie di articoli caricati su arXiv, rifiutandosi, però, di pubblicarli su rivista scientifica. Considerando le regole (pubblicazione su rivista scientifica), tutti credevano che il premio del millennio, istituito dal Clay Mathematics Institute, legato alla congettura non sarebbe stato assegnato. Invece, come segnala Roberto Zanasi, lo zar della matematica, il premio alla fine è stato assegnato, proprio a quel matematico, Grigori Perelman.

Si dubita, però, che Perelman possa accettare il premio e i soldi (un milione di dollari) visto il precedente del 2006, quando il buon matematico decise di rifiutare la Fields Medal, in quanto l'unico premio ad interessargli era il riconoscimento del suo lavoro.
Torniamo, però, alla congettura: una sua descrizione, con tanto di associazione alla Divina Commedia di Dante Alighieri viene proposta proprio dallo zar nell'articolo La 3-sfera, un delizioso dialogo che nell'ultima parte è alternato dai versi della Commedia e dai suoi rapporti con la matematica. La congettura, in soldoni, coninvolge uno spazio in 4 dimensioni e una sfera immersa in questo spazio, ma non una sfera usuale, ma il suo corrispondente quadri-dimensionale, la così detta 3-sfera.

Ogni 3-varietà chiusa e semplicemente connessa è omeomorfa a una 3-sfera.

Come già per il teorema di Noether, anche in questo caso cerchiamo di gettare un po' di luce sui concetti utilizzati nell'enunciato.
Iniziamo con la varietà. Questo oggetto matematico venne introdotto da Bernhard Riemann nel 1851 nella sua tesi di dottorato: egli aveva necessità di introdurre grandezze particolari, aventi più dimensioni, interessandosi così delle geometrie non euclidee. Le varietà, in effetti, sono degli oggetti particolari, dei veri e propri spazi su cui la geometria euclidea è valida solo su piccole porzioni, ma perde di validità man mano che si osserva una porzione maggiore della varietà. Una varietà tridimensionale è ad esempio la sfera: un triangolo tracciato su una sfera, infatti, presenta una somma di angoli interni pari a 230°, mentre nel piano la somma è l'usuale 180°. Quindi mentre la superficie della sfera nel suo complesso è governata da una geometria non euclidea, una sua piccola porzione è invece in tutto e per tutto uno spazio euclideo: più semplicemente si potrebbe quindi dire che una varietà è uno spazio le cui proprietà geometriche variano in base alla scala con lui lo si sta guardando.