Nel mondo anglosassone questo problema viene associato a Leonard Euler, uno dei matematici che si occuparono della questione, e che propose il seguente potenziale in cui sono presenti due centri di gravità paragonabili, rappresentati dalle costanti $\mu_{1,2}$ che misurano la forza di ciascun corpo: \[V(x,y) = -\frac{\mu_1}{\sqrt{(x-a)^2 + y^2}} -\frac{\mu_2}{\sqrt{(x+a)^2 + y^2}}\] Questo potenziale, ovviamente, va applicato a un terzo corpo di massa $m$.
Sostituendo $x$ e $y$ con un sistema di coordinate ellittiche è possibile trovare una soluzione parametrica al problema, espressa attraverso degli integrali ellittici.
In un articolo recente Alessandra Celletti (che è stata a fine gennaio al Dipartimento Enriques per presentare il problema), Letizia Stefanelli, Elena Lega, Claude Froeschlé hanno provato a risolvere questo problema. Vediamo innanzitutto il problema che si sono posti: il sistema è costituito da tre corpi, un asteroide di massa trascurabile e due corpi centrali, $P_1$, $P_2$ di masse, rispettivamente, $1-\mu$ e $\mu$. Il moto dei tre corpi, poi, avviene sullo stesso piano mentre il moto relativo dei due corpi massicci si sviluppa su un'orbita circolare. Il sistema di riferimento, poi, viene posto nel baricentro dei due corpi massicci: questo vuol dire che per quel che riguarda il terzo oggetto le sue equazioni del moto, ovvero le equazioni che descrivono il moto degli oggetti in movimento, indicate con $\xi$, $\eta$ le coordinate dell'asteroide, sono: \[\ddot{\xi} = \mu \frac{\xi_1 - \xi}{r_1^3} + (1-\mu) \frac{\xi_2 - \xi}{r_2^3}\] \[\ddot{\eta} = \mu \frac{\eta_1 - \eta}{r_1^3} + (1-\mu) \frac{\eta_2 - \eta}{r_2^3}\] dove $xi_{1,2}$, $\eta_{1,2}$ sono le coordinate dei due pianeti, $r_{1,2}$ le rispettive distanze dal baricentro, mentre le quantità con il doppio punto sono le accelerazioni.
Non mi metterò a ripercorrere tutta la trattazione con i cambi di variabile usati dal gruppo di ricercatori per semplificare il problema, limitandomi semplicemente a soffermarmi su alcuni aspetti del lavoro. Prima del prossimo dettaglio è necessaria una premessa, ben descritta all'interno dell'articolo: l'uso della legge di Stokes in cosmologia. Nel caso di una particella che si muove all'interno di un fluido, la legge di Stokes descrive la forza dissipativa che agisce sulla particella. Allo stesso modo si utilizza questa legge per descrivere il moto di un corpo celeste che si muove all'interno della nube di gas che si trova intorno ad una stella. Applicando un ulteriore cambio di variabili, è possibile calcolare tale forza dissipativa e distinguere tra due contributi differenti.
Il primo contributo è dovuto all'impatto dei fotoni della radiazione solare con la particella o il corpo celeste in questione: \[-\frac{k}{r_1^2} (\dot{x} -y, \dot{y} + x)\] Il secondo, invece, rappresenta l'effetto Doppler della radiazione solare che colpisce la particella, dovuto al fatto che la particella si sta muovendo intorno al Sole: \[-\frac{k}{r_1^4} ((x \dot{x} + y \dot{y})x, (x \dot{x} + y \dot{y})y)\] che però non viene considerato nella trattazione poiché decresce molto velocemente (notare la dipendenza dall'inverso della quarta potenza della distanza, che lo rende certamente più piccolo rispetto al contributo dovuto ai fotoni).
Il passo successivo è la determinazione della presenza di eventuali attrattori. In matematica l'attrattore di un sistema dinamico non è altro che una data curva cui il sistema tende in tempi lunghi (definizioni e ampia trattazione su Scholarpedia e Wikipedia): gli attrattori più famosi, però, sono quelli di Lorenz, che hanno una grande importanza nella teoria del caos. Essi, infatti, mi dicono che il sistema si sposta intorno a due centri fondamentali, senza mai finirci dentro, ed è su questi che si fonda il famoso detto non può piovere per sempre. Utilizzando il metodo delle tangenti, noto anche come metodo di Newton, visto che è stato proprio Isaac Newton a svilupparlo, i ricercatori determinano delle figure che sembrano indicare la presenza di attrattori sia nel caso dei 3 corpi, sia in quello di 4 corpi, il tutto ovviamente realizzato grazie all'ausilio del computer.
Attrattori per i 3 corpi
Attrattori per i 4 corpi
Vorrei, però, chiudere con una piccola osservazione sulla soluzione analitica del problema dei tre corpi.
Dall'introduzione il lettore può pensare che o il problema dei tre corpi è irrisolvibile analiticamente, o che lo sia in maniera estremamente difficoltosa. In effetti è giusta la seconda. Il primo a risolvere il problema fu il matematico finlandese Karl Frithiof Sundman che nel 1912 su Memoire sur le probleme de trois corps (Acta Mathematica 36, 105-179), usando metodi analitici sviluppati da Levi-Civita e Painlevé, dimostrò l'esistenza di una serie basata sulle potenze di $t^{1/3}$ che risolve il problema dei tre corpi. L'unico inconveniente della sua soluzione è la sua lenta convergenza, che quindi la rende sostanzialmente inutile per la determinazione di una soluzione analitica che possa essere successivamente utilizzata.
Celletti, A., Stefanelli, L., Lega, E., & Froeschlé, C. (2011). Some results
on the global dynamics of the regularized restricted three-body problem with dissipation Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy DOI: 10.1007/s10569-010-9326-y
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