Generalizzando il teorema di Noether

Isabelle Greff

L'anno scorso abbiamo visto il teorema di Noether, un importante strumento matematico che garantisce l'esistenza, in fisica, di quantità che si conservano (e quindi di principi di conservazione). Jacky Cresson e Isabelle Greff, due ricercatori francesi, stanno lavorando da anni a una generalizzazione del teorema⁽¹⁾, che hanno raggiunto su un articolo pubblicato sul Journal of Mathematical Physics (A non-differentiable Noether's theorem).
Giusto per introdurre al meglio l'argomento, ricordo cosa sia una lagrangiana e cosa le equazioni differenziali parziali.
Una lagrangiana è un'equazione che rappresenta il sistema fisico che si sta studiando. Eseguendo una serie di calcoli e di derivate sull'equazione, è possibile ricavare le così dette equazioni del moto, ovvero quelle equazioni che descrivono matematicamente la dinamica del sistema studiato.
Le equazioni differenziali sono, invece, delle equazioni in cui si trovano delle derivate, dove la derivata è una funzione che ci dice quanto velocemente una data funzione cambia la sua pendenza. Quando, però, siamo di fronte a funzioni che dipendono da più variabili, allora le derivate sono dette parziali, perché ogni derivata possibile che si può calcolare fornisce informazioni solo su una parte della funzione.

Jacky Cresson

Detto questo, i due ricercatori ridefiniscono un po' tutti gli strumenti matematici più importanti con l'obiettivo, come detto, di realizzare un formalismo più generale. Un obiettivo che sembra anche raggiunto, visto che riescono a dimostrare che le equazioni usuali sono un caso particolare delle equazioni medesime all'interno del loro formalismo.
Una delle definizioni più importanti, cardine per comprendere e riprodurre i calcoli di Cresson e Greff, è quella della nuova derivata.
La derivata usuale è definita come: \[\frac{\text{d} x(t)}{\text{d} t} = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{x(t+\varepsilon) - v(t)}{\varepsilon}\] dove $x(t)$ è una funzione continua a valori reali con variabile $t$ appartenente a un dato intervallo $I$ sull'asse dei numeri reali, $\varepsilon$ un numero reale positivo.
La derivata di Cresson e Greff, invece, che potremmo anche definire come derivata non-differenziabile o derivata nd per comodità, è leggermente più complicata: \[\frac{\square_\varepsilon x(t)}{\square t} = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{1}{2} \left [ \left ( {d^+}_\varepsilon x + {d^-}_\varepsilon x \right ) + i \mu \left ( {d^+}_\varepsilon x + {d^-}_\varepsilon x \right ) \right ]\] dove $\mu \in \lbrace 1, -1, 0, i, -i \rbrace$ e \[d^\sigma_\varepsilon = \sigma \frac{x(t+\sigma \varepsilon ) - x(t)}{\varepsilon}, \qquad \sigma = \pm\] Per questo operatore valgono le stesse regole delle derivate usuali e può essere utilizzato all'interno dell'integrale.
L'integrale è un operatore matematico che consente, attraverso l'uso di opportune regole, di calcolare l'area di una data curva (integrale definito) o la primitiva (integrale indefinito), ovvero la funzione la cui derivata coincide con la funzione integranda.
A questo punto, detta $L$ la lagrangiana del sistema, le equazioni di Eulero-Lagrange (le equazioni del moto), sono \[\frac{\text{d}}{\text{d} t} \left [ \frac{\partial L}{\partial v} \left ( t, x(t), \frac{\text{d} x(t)}{\text{d} t} \right ) \right ] = \frac{\partial L}{\partial x} \left ( t, x(t), \frac{\text{d} x(t)}{\text{d} t} \right )\] che, utilizzando la derivata nd, diventa \[\frac{\partial L}{\partial x} \left ( t, \gamma (t), \frac{\square \gamma (t)}{\square t} \right ) - \frac{\square}{\square t} \left ( \frac{\partial L}{\partial v} \left ( t, \gamma (t), \frac{\square \gamma (t)}{\square t} \right ) \right )\] Una funzione $J$ è primo integrale⁽²⁾ dell'equazione di Eulero-Lagrange se è valida la seguente relazione: \[\frac{\text{d}}{\text{d} t} J (t, x(t), \dot x (t)) = 0\] che per un'equazione di Eulero-Lagrange nd diventa: \[\frac{\square}{\square t} J \left ( t, x(t), \frac{\square x (t)}{\square t} \right ) = 0\] Il teorema di Noether, a questo punto, utilizzando il formalismo di Cresson e Greff, può essere così generalizzato:

Teorema di Noether nd
Sia $L$ una lagrangiana di classe $C^2$, ovvero una funzione continua con derivate continue fino al secondo ordine. Supponiamo che sia invariante, secondo la derivata nd, sotto l'azione di un gruppo di simmetria ad un parametro di elementi $\varphi_s$.
Allora la funzione \[J : (t,x,v) \rightarrow \frac{\partial L}{\partial v} (t,x,v), \frac{\text{d} \varphi_s (x)}{\text{d} s} |_{s=0}\] è un primo integrale dell'equazione di Eulero-Lagrange nd

Ovvero esiste una corrente conservata anche per un'equazione di Eulero-Lagrange nd.

---

(1) Cresson, da solo o in compagnia di altri ricercatori, ha iniziato nel 2007, perfezionando nel 2010 la teoria di partenza insieme con la Greff, un incorporamento non-differenziabile di sistemi lagrangiani e di equazioni differenziali parziali
(2) Il primo integrale è una funzione che in fisica è detta corrente conservata.

Cresson, J., & Greff, I. (2011). A non-differentiable Noether's theorem Journal of Mathematical Physics, 52 (2) DOI: 10.1063/1.3552936