Generalizzando il teorema di Noether

Isabelle Greff

L'anno scorso abbiamo visto il teorema di Noether, un importante strumento matematico che garantisce l'esistenza, in fisica, di quantità che si conservano (e quindi di principi di conservazione). Jacky Cresson e Isabelle Greff, due ricercatori francesi, stanno lavorando da anni a una generalizzazione del teorema⁽¹⁾, che hanno raggiunto su un articolo pubblicato sul Journal of Mathematical Physics (A non-differentiable Noether's theorem).
Giusto per introdurre al meglio l'argomento, ricordo cosa sia una lagrangiana e cosa le equazioni differenziali parziali.
Una lagrangiana è un'equazione che rappresenta il sistema fisico che si sta studiando. Eseguendo una serie di calcoli e di derivate sull'equazione, è possibile ricavare le così dette equazioni del moto, ovvero quelle equazioni che descrivono matematicamente la dinamica del sistema studiato.
Le equazioni differenziali sono, invece, delle equazioni in cui si trovano delle derivate, dove la derivata è una funzione che ci dice quanto velocemente una data funzione cambia la sua pendenza. Quando, però, siamo di fronte a funzioni che dipendono da più variabili, allora le derivate sono dette parziali, perché ogni derivata possibile che si può calcolare fornisce informazioni solo su una parte della funzione.

Il teorema di Noether

Il teorema di Noether, scoperto dalla matematica tedesca Emmy Noether, è uno dei teoremi più sofisticati della fisica, un modo per vedere come la teoria dei gruppi, una branca della matematica da molti ritenuta astratta, può fornire le basi per un importante concetto fisico. Le premesse della teoria dei gruppi, accoppiate con il calcolo delle variazioni, portano alle conclusioni del teorema, ovvero all'esistenza, sotto certe condizioni, di grandezze conservate all'interno dei sistemi fisici.
Tutto parte da uno dei concetti più importanti per la fisica, la simmetria, che è anche oggetto di studi della teoria dei gruppi. Per rendersi conto, quindi, di questo stretto legame, basta avere in mente l'enunciato del teorema:

Se un sistema fisico esibisce una qualche simmetria continua⁽¹⁾, allora ci sono delle corrispondenti osservabili i cui valori sono costanti nel tempo.

Una formulazione più sofisticata del teorema, invece, recita più o meno cosi:

Per ogni simmetria differenziabile generata da azioni locali, corrisponde una corrente conservata

Questa enunciazione, decisamente più tecnica, lega il teorema e le simmetrie con una serie di gruppi estremamente importanti per la fisica, i gruppi di Lie. Nell'abstract dell'articolo della Noether, Invariante Variationsprobleme⁽²⁾, infatti, si può leggere:

I problemi di variazione qui trattati, sono tali da ammettere un gruppo continuo (nel senso di Lie); le conclusioni che emergono per le corrispondenti equazioni differenziali trovano la loro più generale espressione nei teoremi formulati nella Sezione I e dimostrati nelle sezioni seguenti.

Prima di addentrarci nei calcoli, però, vediamo di definire meglio alcuni dettagli citati in precedenza.