L'ipotesi di Riemann

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Titolo: L'ossessione dei
numeri primi
Autore: John Derbyshire
Edizione: La biblioteca de
Le Scienze

E proseguiamo con l'esame dell'Ipotesi di Rieman e del libro L'ossessione dei numeri primi.
Il tipo di ricerca che l'Ipotesi ha fatto partire, sui numeri primi e su quanto sono fitti, è in effetti iniziata più come un semplice gioco matematico, ma col tempo ha guadagnato un'importanza che va al di là del semplice diletto: senza considerare tutto quello che John Derbyshire ci propone nel testo, basti pensare al ruolo che i numeri primi hanno assunto nella crittografia: è proprio sui numeri primi che si basano molte delle chiavi di sicurezza più... sicure su internet.
Veniamo, finalmente, all'enunciato dell'Ipotesi:

Tutti gli zeri non banali della funzione zeta hanno parte reale 1/2

dove la zeta di Riemann è data dall'espressione: \[\zeta(s)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+\cdots\] dove la variabile è indicata con la lettera $s$ invece dell'usuale $x$ già nel saggio di Riemann di 150 anni fa, e da allora la consuetudine è rimasta. L'espressione può essere scritta in maniera più concisa, tenendo conto di ognuno degli infiniti termini, utilizzando la sommatoria: \[\zeta(s)=\sum_n n^{-s}\] dove la somma viene fatta da 1 all'infinito.

L'ossessione dei numeri primi

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Titolo: L'ossessione dei
numeri primi
Autore: John Derbyshire
Edizione: La biblioteca de
Le Scienze

L'11 agosto del 1859 Bernhard Riemann venne nominato membro corrispondente dell'Accademia di Berlino: come d'uso a quell'epoca Riemann presentò un saggio su uno degli argomenti di ricerca che lo interessavano in quel momento.
Il lavoro, Sul numero dei primi minori di una certa grandezza, presentava quella che passò alla storia della matematica come l'Ipotesi di Riemann, anche se John Derbyshire ritiene sia più opportuno chiamare congettura, e che in pratica rivoluzionò questa scienza grazie ai tentativi di dimostrarla. Non dovevano, infatti, passare che 41 anni affinché David Hilbert, nel suo famoso discorso al congresso dei matematici di Parigi di inizio XX secolo, mise l'Ipotesi di Riemann tra i 23 problemi che la matematica avrebbe dovuto affrontare nel secolo successivo.
L'Ipotesi, famosa anche come l'8.o problema di Hilbert, non è a tutt'oggi stata dimostrata, eppure i tentativi per dimostrarla hanno portato a risultati eccezionali che hanno fatto avanzare la matematica: L'ossessione dei numeri primi, di Derbyshire, è la storia di questi tentativi e degli uomini che li hanno fatti.

Il diavoletto di Maxwell

Sin da quando James Clerk Maxwell immaginò il suo demone circa 150 anni fa, i fisici si sono divertiti nel cercare di creare questo malizioso diavoletto. L'ultimo tentativo è arrivato da un gruppo di ricercatori dell'Università dell'Oregon che hanno creato una serie di laser che ordinano un insieme di atomi ultrafreddi, proprio come l'ipotetico demone.
Maxwell immaginò il suo demone come una minusocla creatura che può controllare una botola in un gas per segregare gli atomi caldi da quelli freddi. Propose questo esperimento mentale poiché sembrava offrire un modo semplice di violare il secondo principio della termodinamica riducendo l'entropia in un sistema senza spendere energia.
L'opinione più diffusa è che il demone, così come è stato concepito da Maxwell, sarebbe impossibile da realizzare, principalmente perché, ordinando gli atomi, il demone dovrebbe aprire e chiudere la botola ad istanti ben precisi; per fare ciò egli dovrebbe essere in grado di conoscere posizione e velocità di ogni atomo in ogni momento, in evidente contrasto con il principio di Heisenberg.

In un certo senso, per ottenere tale conoscenza, il demone dovrebbe trasferire l'entropia del gas nel suo cervello

dice Daniel Steck, uno dei ricercatori del gruppo dell'Oregon.

I problemi di Hilbert

David Hilzbert

L'8 agosto del 1900 al Congresso internazionale dei matematici tenutosi a Parigi nella prestigiosa Sorbona David Hilbert fece un lungo intervento d'apertura dei lavori, indicando quelli che a suo parere dovevano essere i problemi più urgenti da risolvere nel corso del XX secolo.
A causa della lunghezza del suo discorso, parlò solo di 10 dei 23 problemi che aveva identificato: 1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, e 22. La lista completa venne pubblicata successivamente tra gli atti del congresso. Con il suo discorso e l'indicazione dei problemi, Hilbert diede una linea di pensiero e di ricerca alla matematica del XX secolo, segnandone di fatto tutto il cammino. Di tutte le questioni indicate dal matematico di Gottinga, l'università dove insegnava, due restano ancora aperte: l'ipotesi di Riemann e l'estensione del teorema di Kronecker a campi algebrici arbitrari. Per altri 8 la risoluzione è stata parzialmente accettata, 4 sono troppo vaghi e generali, uno (la determinazione delle soluzioni generali di un'equazione diofantea) è irresolubile, un altro (per $a \not= 0,\, 1$ algebrico e $b$ irrazionale, $a^b$> è sempre trascendente) è risolto parzialmente, mentre i rimanenti sono tutti risolti.
Torniamo, però, al discorso di Hilbert leggendone alcuni passaggi:

Chi di noi non vorrebbe essere lieto di sollevare il velo dietro il quale il futuro rimane nascosto; di gettare un'occhiata ai prossimi avanzamenti della nostra scienza e ai segreti del suo sviluppo durante i secoli futuri? Quali particolari obiettivi ci saranno attraverso i quali gli spiriti guida della matematica delle future generazioni si ingegneranno? Quali nuovi metodi e nuovi fatti nell'ampio e ricco campo del pensiero matematico rivelerà il nuovo secolo?
La storia ci insegna la continuità dello sviluppo della scienza. Sappiamo che ogni era ha i suoi particolari problemi, che l'era seguente risolve o mette da parte come poco promettenti e li sostituisce con nuovi. Se otterremo un'idea del probabile sviluppo della conoscenza matematica nell'immediato futuro, dobbiamo lasciare che le domande insolute passino prima la nostra mente e guardare poi ai problemi che la scienza di oggi propone e la cui soluzione aspettiamo dal futuro. Una tale revisione dei problemi di oggi, giacenza al meeting del secolo, mi sembra quanto più adatta. La chiusura di una grande epoca non solo ci invita a guardare indietro nel passato ma anche a dirigere i nostri pensieri all'ignoto futuro.
Il profondo significato di alcuni problemi per l'avanzamento della scienza matematica in generale e il ruolo importante che giocano nel lavoro dei singoli ricercatori non deve essere negato. Quanto più una branca dela scienza offre un'abbondanza di problemi, tanto più a lungo vive; una mancanza di problemi prefigura l'estinzione o la cessazione dello sviluppo indipendente. Così come ogni uomo intraprendente persegue certi obiettivi, così anche la ricerca matematica richiede i suoi problemi. E' dalla soluzione dei problemi che l'investigatore testa la tempra del suo acciaio; egli cerca nuovi metodi e nuovi sguardi, e guadagna un più ampio e più libero orizzonte.