La matematica in gioco: Sul Carnevale della Matematica e il Project Euler

E giunse, puntuale come ogni mese, il 14.mo Carnevale della Matematica. Ospitato da Matematica 2005, questa volta, mi sembra, un po' in tono minore: sarà la primavera che se ne va, sarà il caldo che avanza, sarà l'antigelo che non funziona poi molto bene vista l'assenza del gelo, questa volta le segnalazioni sono pochine. D'altra parte prima o poi il 14.mo carnevale doveva arrivare e un po' tutti sembra si sono fatti trovare impreparati alla doppia ricorrenza.
Se facciamo una piccola ricerca sul 14, però, scopriamo alcune cose interessanti: innazitutto è il numero atomico del silicio, che è di casa in questi nostri lidi elettronici; quindi è il terzo numero quadrato piramidale: 14 = 1 + 4 + 9; è anche il numero massimo totale di giocatori che possono giocare una partita ufficiale di calcio.
Concentriamoci, però, sul numero piramidale, perché ci consentirà di risolvere il Problema n.6 del Project Euler. Il problema n.6 recita, più o meno, così:

La somma dei quadrati dei primi dieci numeri è 385, mentre il quadrato della somma dei primi dieci numeri è 3025.
Trovare la differenza tra il quadrato della somma e la somma dei quadrati dei primi 100 numeri.

I numeri piramidali quadrati fanno proprio al caso nostro: tali numeri sono definiti come la somma dei quadrati dei primi $n$ numeri interi: \[Q_n = \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\] Allora, utilizzando la formula per i numeri triangolari, già utilizzata per il Problema n.1, combinata con quella per i numeri piramidali quadrati otteniamo la risposta al nostro problema: \[R_{100} = T_{100}^2 - Q_{100}\] che risulta una soluzione molto elegante per il Problema n.6, che i più arguti di voi ricorderanno che vi avevo già proposto.
Ritornando al Carnevale, vi ricordo che per leggere l'elenco dei passati Carnevali e prenotarsi, fate riferimento a Matematti.
Alla prossima!