I rompicapi di Alice: La logia, le carte e i tre barbieri

Uno dei crucci più grandi di Lewis Carroll era quello di raccontare nel modo più semplice possibile la logica ai suoi giovani lettori. L'interesse, quindi, verso i paradossi della logica era sempre ampio e sfociò nella pubblicazione dello sfortunato tomo Logica Simbolica e nella proposizione de Il gioco della logica, una sorta di gioco da tavolo su uno schema quadrato sviluppato a partire dal sistema proposto nel 1761 da Leonhard Euler. Nelle intenzioni di Carroll, il gioco doveva essere fruibile dai bambini della scuola materna, ma nei fatti risultò molto più complesso e all'epoca (e forse anche oggi) poco utile per la diffusione della logica tra i giovani. L'idea era quella di utilizzare, attraverso alcune regole di base, uno schema nel quale realizzare la tavola della verità di una data affermazione.
L'esigenza di determinare la verità o la falsità delle varie affermazioni per Carroll può essere intesa come un'anticipazione della sua importanza per la nostra società. Esempio ne è Vero o falso?, uno dei capitoli di Pane e bugie di Dario Bressanini (vedi il resoconto della presentazione del libro), dove il chimico e divulgatore racconta dell'esperimento di Peter Wason del 1966, leggermente modificato rispetto alla proposizione originale:
Prendiamo 4 carte da gioco, di cui due hanno il dorso scuro e due il dorso chiaro, e due rappresentano una figura e due un numero. Queste vengono disposte sul tavolo, due con la faccia in su e due coperte.

A questo punto il banco fa la seguente affermazione:

Se una di queste quattro carte ha il dorso scuro, allora è una figura

La domanda è: quali sono le carte che bisogna voltare per verificare o meno tale affermazione? Per maggiori dettagli vi suggerisco di leggere Cercasi conferma disperatamente, post che ha fornito il materiale per il capitolo citato sopra. Di quell'articolo e del capitolo citato, in questa sede ci interessano in particolare i dettagli logico-matematici, proposti in una nota apposita:
Generalmente le frasi e i ragionamenti logici possono essere ridotti a una serie di semplici frasi legate tra loro da particolari operatori logici. Ogni frase viene generalmente indicata con una lettera, spesso maiuscola. Per esempio l'affermazione di cui sopra sulle carte da gioco può essere suddivisa in due frasi più semplici: P, la carta ha il dorso scuro, e Q, la carta è una figura, e la frase completa può essere rappresentata come: \[P \Rightarrow Q\] dove \(\Rightarrow\) vuol dire implica. A questo punto, definite \(\bar{P}\), \(\bar {Q}\) le negazioni di P e Q, la frase P implica Q risulta equivalente alla seguente: \[\bar{Q} \Rightarrow \bar{P}\] ovvero se una carta non è una figura allora ha il dorso chiaro. Quindi per rispondere correttamente alla domanda, basta verificare entrambe le frasi, ovvero girare una carta per la frase 1 (girare la carta dal dorso scuro) e per la frase due (girare la carta che non è una figura).

L'esempio con le carte e le criticità che presenta, ben esaminate sia dall'esperimento di Wason e poi riassunte da Bressanini, probabilmente indicano uno dei motivi dell'insuccesso di Carroll nella divulgazione della logica, divulgazione che in ogni caso il nostro non ha mai rinunciato a fare. Prova ne è il seguente passaggio tratto dal 18.mo capitolo di Sylvie e Bruno nella traduzione di Emanuele Turchetti e tratto da Il libro dei rompicapi di Alice di John Fisher:

- Per un'argomentazione logica completa - cominciò Arthur con ammirevole solennità, - ci vogliono due promesse...
- Naturalmente! - interruppe lei. Ricordo quella parola adesso. E producono...?
- Una delusione - disse Arthur.
- Sìììì...i? - disse lei dubbiosa. - Questa non mi pare di ricordarla bene. Ma come si chiama tutta l'argomentazione?
- Uno scioccologismo.
- Ah, sì! Ricordo adesso. Ma non mi serve uno scioccologismo, sapete, per dimostrare l'assioma matematico da voi menzionato.
- Nè per dimostrare che tutti gli angoli sono uguali, suppongo...
- Certo che no. Una verità così semplice la si da per scontata.
A questo punto osai intromettermi e le offrii un piatto di fragole e panna. Mi sentivo davvero a disagio al pensiero che potesse scoprire la burla e tentai, non visto da lei, di scuotere il capo in segno di disapprovazione all'indirizzo dello pseudo filosofo. Arthur, anch'egli non visto da lei, alzò appena le spalle e allargò le mani come per significare Che altro posso dire? e si allontanò lasciandola discutere delle sue fragole per involuzione, o in qualunque altro modo preferisse.

Tutto questo per introdurre il famoso paradosso dei tre barbieri, proposto da Carroll il 4 maggio 1894 sulle pagine della rivista Mind, che secondo le intenzioni dell'autore, desunte dalle carte lasciate dopo la morte, doveva venire pubblicato anche sul secondo volume, mai dato alle stampe, della Logica simbolica:
Ci sono tre barbieri, Allen, Brown e Carr, e due regole:

1. Allen è indisposto e, se lascia il negozio, Brown deve accompagnarlo;
2. Tutti e tre non possono lasciare insieme il negozio, poiché in questo caso il negozio resterebbe vuoto.

Supponiamo ora che Carr esca. Allora se Allen esce, per non contravvenire alla 2., Brown deve restare, ma così facendo contravviene alla 1. e quindi Carr non può uscire. D'altra parte Carr non è costretto a restare da nessuna imposizione: né la 1. né la 2. impediscono le sue uscite.
Dove sta il problema in tutto ciò? Secondo Fisher è l'introduzione dell'uscita di Carr nella questione a generare il paradosso: infatti fino a che tutti e tre sono nel negozio, sono potenzialmente liberi di muoversi come vogliono. Nel momento in cui Carr esce, però, questo constringe Allen e Brown in pratica a non uscire senza contravvenire a una delle regole di cui sopra. Parlando da fisico, l'uscita di Carr diventa un vincolo per la dinamica degli altri due. D'altra parte, secondo Alexander Morris è improprio introdurre, in assenza di Carr, l'assunto che Allen esca e questo a causa della sua condizione, impossibile da modificare a meno di una miracolosa guarigione.
Alla discussione interviene anche un protagonista emerito della matematica e della logica, Bertrand Russell:

Il principio che le proposizioni false implicano tutte le proposizioni risolve il paradosso logico di Lewis Carroll comparso in Mind. L'asserzione fatta in quel paradosso è che se p, q, r sono delle proposizioni, e q implica r, mentre p implica che q implica non-r, allora p deve essere falsa, nel presupposto che "q implica r" e "q implica non-r" siano incompatibili. Ma in virtù della nostra definizione di negazione, se q è falsa valgono entrambe queste due implicazioni: le due insieme, infatti, quale che sia la proposizione r, sono equivalenti a non-q. Così la sola inferenza garantita dalle premesse di Lewis Carroll è che se p è vera, q deve essere falsa, cioé che p implica non-q; e questa è la conclusione, stranamente, che il senso comune avrebbe tratto nel caso particolare che egli ha discusso.
(traduzione personale da una nota al paragrafo 19 dei Principia Mathematica, edizione del 1903)

Potremmo però sintetizzare l'intero ragionamento di Russell utilizzando i simboli già esaminati per le carte. Innanzitutto sappiamo che: \[q \Rightarrow r\] \[p \Rightarrow q \Rightarrow \bar{r}\] D'altra parte possiamo riscrivere la prima in questo modo: \[\bar{r} \Rightarrow \bar{q}\] e usando questa nella seconda, otteniamo: \[p \Rightarrow q \Rightarrow \bar{r} \Rightarrow \bar{q}\] Ovvero, attraverso una catena di implicazioni, la verità di p conduce alla falsità di q.

- So a cosa stai pensando - disse Tweedledum, - ma non è affatto così.
- Al contrario - continuò Tweedledee, - se così fosse, potrebbe esserlo; e se fosse stato così, lo sarebbe stato, ma siccome non lo è, non lo è. E' la logica.
(da Attraverso lo specchio)

E' possibile scaricare Symbolic Logic di Carroll, in vari formati, sia dal Project Gutenberg sia dall'Internet Archive, mentre su Greg & Barb Weeks' Home Page è presente una versione scannerizzata. Alcuni capitoli del testo sono esaminati su Pirates & Revolutionaries: vi segnalo il post sommario.