La matematica in gioco: La somma dei numeri compresi tra due interi dati

Nella ricerca che avevo condotto per scrivere il primo post ispirato al Project Euler, oltre ad aver scoperto un altro paio di post che affrontavano il primo problema con algoritmi, ne avevo anche scoperto uno interessantissimo di Dario Casertano sulla somma di tutti i numeri interi compresi tra due estremi dati.
E' possibile ricavare la formula di Dario a partire dall'aritmogeometria pitagorica: basta semplicemente sommare tutti i numeri fino all'estremo maggiore, sottrargli gli interi fino all'estremo inferiore e avere cura di sommare l'estremo inferiore, altrimenti eliminato dalla somma. In formule matematiche, detti $n_2$ l'estremo superiore ed $n_1$ quello inferiore, si ottiene \[n_2 \frac{n_2 +1}{2} - n_1 \frac{n_1 +1}{2} + n_1 = \frac{(n_2-n_1+1)(n_2+n_1)}{2}\] che è la formula ottenuta da Casertano!
L'emozione è tanta e la potenza della matematica anche: ha consentito di ottenere lo stesso risultato utilizzando due ragionamenti differenti, entrambi altrettanto validi e corretti: in questo senso fa ridere la diatriba tra Casertano e un suo lettore su chi ha ottenuto la formula migliore, considerato che entrambe sono vecchie quanto la matematica, anche se giovani quanto chi le ha riscoperte.
Comunque Dario, nel suo post, ricava con una serie di brillanti ragionamenti logici e passaggi matematici, una formula che gli consente di determinare tale somma: emozionato per aver risolto il problema senza l'uso del computer, utilizza il suo esempio per sottolineare una differenza fondamentale tra il programmatore, che parte lancia in resta utilizzando il cannone, e uno sviluppatore. Personalmente avrei allargato il confronto tra un programmatore qualsiasi (preferibilmente aziendale!) e uno scienziato: quest'ultimo, abituato anche a cercare la soluzione più semplice, nel suo percorso di ricerca, laddove possibile, prova a scoprire strade semplici per risolvere problemi complessi, o quanto meno per semplificarli e ridurre all'essenziale ogni utilizzo di computer e algoritmi.
Diverso, invece, il caso di altri due post, comunque interessanti, ma concentrati solo sugli aspetti algoritmici del primo problema: Problemi, gare e algoritmi e di Progetto Eulero: Problema 1.

L'universo misterioso

Ha fatto notizia, alcuni anni fa, la scoperta che l'universo sta ancora accelerando, e la sua accelerazione anziché diminuire, aumenta. Come è possibile? Gli effetti del Big Bang, l'esplosione che avrebbe generato il nostro universo, non dovrebbero essere abbastanza forti da aumentare l'accelerazione, che anzi dovrebbe andare diminuendo. Eppure tale ovvietà viene puntualmente disattesa dal nostro universo.
L'ipotesi principale, confermata dai dati sulla velocità di rotazione delle galassie più vicine, è che nell'universo ci sia più massa e più energia di quelle visibili.

Raccontare Darwin

Foto dall'alto della libreria con le persone intervenute all'incontro

La scienza, quest'anno, diventa spettacolo: i 200 anni di Charles Darwin e i 150 de L'origine della specie, e l'anno astronomico che celebra i successi di Galileo Galilei. Oggi ci occupiamo di Darwin, ma semplicemente per raccontare l'incontro/conferenza informale di ieri alla Libreria Feltrinelli di Piazza Piemonte a Milano. Protagonisti indiscussi Piergiorgio Odifreddi, logico e matematico, professore ordinario all'Università di Torino, e l'attore e Premio Nobel per la letteratura Dario Fo. I due protagonisti arrivano in libreria insieme, accolti da una platea già folta ben un'ora prima dell'inizio ufficiale dell'incontro con un caloroso applauso.
E l'incontro inizia anche un po' prima rispetto al previsto: dopo aver fatto salire una parte del pubblico sul palco preparato dalla libreria, viene innanzitutto introdotto l'ultimo libro di Odifreddi, In principio era Darwin. Dal racconto emergono alcuni punti interessanti: in particolare vorrei sottolineare la discussione (che andrebbe fatta in maniera approfondita anche in Italia) su quando e come sarebbe utile introdurre l'evoluzione nelle scuole, non certo se sia il caso: è indubbia, e ciò emerge chiaramente, l'importanza di tale teoria nel panorama scientifico mondiale, così come sono stati importanti i contributi dei ricercatori che hanno succeduto Darwin.

Le fantastiche previsioni del tempo cosmiche

Quando i Fantastici 4 fecero il loro ingresso nel mondo dei supereroi, ben poco si sapeva dei raggi cosmici: ciò diede modo a Stan Lee e Jack Kirby di creare alcune bizzarre interazioni tra i 4 avventurieri e le particelle ad alta energia provenienti dallo spazio. Chi ha visto i film o chi ne legge (o ne ha letto) le avventure, sa bene che, in ogni caso, l'interazione con questa radiazione cosmica è avvenuta a causa della rottura dei filtri esterni che avrebbero dovuto bloccare le particelle di cui i raggi cosmici sono costituiti.
D'altra parte i raggi cosmici, costituiti prevalentemente da protoni ad alta energia provenienti dalle stelle circostanti, arrivano sulla Terra e interagiscono con l'alta atmosfera, il nostro schermo, creando fasci di pioni che, a loro volta, decadono in muoni: sono queste particelle (che in carica positiva sono dei piccoli protoni, e in carica negativa sono degli elettroni... ingrassati!) che giungono sulla superficie terrestre. Se da una parte la caduta dei muoni e il loro successivo decadimento è una dimostrazione della dilatazione temporale einsteniana (prometto: ne riparlerò in futuro), dall'altra sembra che da uno studio sui fasci di muoni sarà possibile determinare la temperatura dell'atmosfera.

Ritratti: Charles Darwin

Ritratto realizzato in Italia intorno al 1890

Da buon appassionato di Paolo Bonolis, che seguo fin dai tempi di Bim Bum Bam, sono stato molto tentato quasi fino all'ultimo minuto di chiamare questo post Ciao, Darwin! come la fortunata trasmissione del conduttore romano. Poi, al momento della stesura di questo articolo ho optato per una soluzione più seria: in fondo l'evento che ci apprestiamo a festeggiare ne è decisamente degno.
Questo, infatti, non è solo l'anno astronomico (ce ne sarà di tempo, per parlarne) ma è anche l'anno di Charles Darwin e della sua teoria dell'evoluzione. Infatti il 12 febbraio del 1809, esattamente 200 anni fa, nasceva Charles Darwin, divenuto famoso come naturalista e scopritore dell'evoluzione così come oggi la conosciamo. Le sue idee vennero pubblicate ne L'origine della specie, la cui prima pubblicazione risale al 1859, ovvero 150 anni fa: il 2009 è, quindi, un annus mirabilis per la scienza in generale.
La storia di Darwin potrebbe sembrare alquanto singolare, ma lo accomuna ad altri illustri dilettanti, nel senso che la loro formazione o il loro percorso iniziale nulla aveva a che fare con il lavoro per cui sono diventati noti. In effetti, nonostante il nonno di Charles, Erasmus, fosse stato uno dei molti scienziati che prima di Darwin proposero idee evoluzioniste, il padre Robert costrinse il figlio a studiare teologia. Solo grazie al suo forte carattere Charles riuscì a imbarcarsi sul Beagle come naturalista per un viaggio di 5 anni che gli avrebbe permesso di raccogliere le prime osservazioni alla base della sua teoria: era il 1831.

La matematica in gioco: La somma dei multipli di 3 e 5

Come promesso è giunto il momento di dare la soluzione del post precedente (anche se probabilmente in molti l'avranno trovata... spero!): la somma dei numeri naturali da 1 a $n$ è data semplicemente dalla formula $n(n+1)/2$, nota sin dai tempi di Pitagora e della sua aritmogeometria. A questo punto resta solo da adattare la formula al nostro problema: trovare la somma di tutti i multipli di 3 e 5 fino a 1000.
Innanzitutto dobbiamo trovare la somma di tutti i multipli di 3 fino a 1000: la prima cosa da notare è che l'ultimo multiplo di 3 sotto il 1000 è 999 = 3*333. Quindi sotto il 1000 esistono 333 numeri interi, incluso il 3, che possono essere scritti come un numero compreso tra 1 e 333 e moltiplicato per 3. Quindi basta sommare tutti i numeri naturali tra 1 e 333 e moltiplicare questo risultato per 3 per ottenere la prima somma. Allo stesso modo per i multipli di 5, basta notare che 1000 = 5*200 e quindi fare la stessa operazione, con l'avvertenza di fermarsi al 199.mo multiplo della serie di 5, poiché dobbiamo escludere l'estremo finale, 1000.
Il risultato sarà pertanto dato da \[3 \cdot 333 \cdot \frac{334}{2} + 5 \cdot 199 \cdot \frac{200}{2} = 166833 + 100500 = 267333\] C'è però una cosa di cui, in ultima analisi, bisogna tenere conto: i multipli comuni tra 3 e 5, ovvero i multipli di 15. E' facile scoprire, dividendo 1000 per 15, che tali multipli sono 66 e la loro somma è data dalla formula \[15 \cdot 66 \cdot \frac{67}{2} = 33165\] e quindi il risultato finale è 234168, e tutto questo utilizzando come massimo ausilio la calcolatrice.
Ovviamente tutto il processo può essere automatizzato attraverso un programma, ma questa è una sfida che al momento non raccolgo, ma che spero i lettori in... ascolto colgano al volo: l'invito è quindi quello di realizzare algoritmi in grado di automatizzare il processo, sfruttando tutti gli artifici matematici necessari per rendere l'algoritmo stesso più efficiente e chiaro alla lettura.
D'altra parte altri hanno già affrontato il problema, basti leggere Problemi, gare e algoritmi e Progetto Eulero: Problema 1.

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In un prossimo post vorrei affrontare un problema un po' più complesso, ma più semplicemente risolubile alla luce di quanto abbiamo appreso finora.

La matematica in gioco: Somme continue

Leonhard Euler

Alcuni mesi fa mi sono imbattuto in un post interessante di nexusdue pubblicato su downloadblog: il nostro ci propone un interessante sito logico/matematico, Project Euler, in cui vengono proposti ben 230 problemi. Il sito lancia la sfida ai navigatori chiedendo loro di risolvere i quesiti proposti, sia utilizzando la logia e la matematica, sia utilizzando algoritmi vari.
Certamente la dimestichezza nella programmazione è un ottima base per risolvere i vari quesiti, ma come vedremo con il primo problema della lista, sarebbe un po' come sparare con un cannone contro un bersaglio piccolo pochi centimetri!

Se scriviamo tutti i multipli di 3 e 5 fino a 10, otteniamo 3, 5, 6, 9, la cui somma è 23. Trovare la somma dei multipli di 3 e 5 fino a 1000.

Termodinamica

Originariamente l'articolo era costituito da due post separati, riuniti in un'unica soluzione

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La termodinamica è una branca della fisica molto utilizzata, ma anche molto poco conosciuta. Certo in casa ciò che ci serve sapere è molto poco: ad esempio come cuocere gli alimenti o a quale temperatura inizia a bollire l'acqua. Eppure proprio in quel momento avviene un fenomeno fisico estremamente complesso e non banale: la semplice evaporazione dell'acqua è in effetti un modo semplice per avere contatto con sistemi complessi.

Transizioni di fase

Per sistema complesso i fisici intendono un sistema a molti corpi (e già, per quel che riguarda la gravità newtoniana, un problema a tre corpi, come il sistema Sole-Terra-Luna è piuttosto difficile da calcolare) che può essere descritto solo attraverso una particolare statistica.
Mi spiego meglio: una delle rivoluzioni più grandi della fisica moderna è l'equazione di Schrodinger (sulla quale ritornerò), che descrive il moto delle particelle microscopiche. Esse possono essere studiate, teoricamente, sia da libere sia in presenza di una forza esterna. Il successivo sviluppo e introduzione di oggetti matematici sempre più sofisticati ha portato alla descrizione del mondo fisico attraverso operatori, particolari oggetti che descrivono come viene modificato lo spazio circostante. Tali operatori si possono complicare aumentando il numero di particelle coinvolte: ecco, quindi, entrare l'approccio statistico alla termodinamica, in cui ogni sistema fisico è descritto come una somma di un numero più o meno grande di operatori che rappresentano lo stato delle singole particelle.
Ho semplificato molto, me ne rendo conto, anche se spero di aver trasmesso la complessità del problema: in questo senso, quindi, studi di tal genere possono essere estremamente importanti per una maggiore comprensione dei sistemi complessi (pensate che le equazioni utilizzate dall'econofisica sono, a tutti gli effetti, quelle utilizzate con discreto successo dalla termodinamica quantistica) e quindi per preparare strumenti matematici che potrebbero essere adattati per studiare sistemi apparentemente differenti, come possono essere gruppi di cellule, il clima, e altro ancora.
E tutti questi studi si basano su una grandezza centrale nella termodinamica e nella vita di ognuno di noi: l'entropia.

Il signore del linguaggio

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Titolo: Il medioevo e il fantastico
Autore: J.R.R. Tolkien
Edizione: Bompiani

La ricerca, anche scientifica, si può trovare ovunque, e i suoi risultati possono generare qualunque stupefacente risultato, anche creare una serie di racconti e romanzi di grande impatto popolare. E' il caso, per esempio, di J.R.R.Tolkien, l'autore che ha raggiunto la fama grazie al successo planetario de Il Signore degli Anelli.
Fantasy classico, è costituito da tre romanzi che sono il corpus centrale e più noto di tutta la produzione tolkeniana, ma non la sua opera migliore, come vedremo fra un po'.
Ciò che però lega l'opera di Tolkien alla ricerca è l'origine della Terra di Mezzo: professore di letteratura inglese a Oxford, Tolkien è stato un grande studioso della letteratura inglese medioevale, in particolare del ciclo di Parsifal, quello in cui viene raccontato come il cavaliere riesce a recuperare il Santo Graal. Per certi versi Il Signore degli Anelli può essere accostato al ciclo arturiano, con Gandalf versione moderna di Merlino e Frodo un improvvisato Artù. Eppure la ricerca di Tolkien non si limita solo a questo.
La ricerca scientifica è anche in grado di creare qualcosa di nuovo, e nel caso di Tolkien lo scrittore britannico ci ha lasciato addirittura un linguaggio creato ex-novo, e solo dopo la sua creazione ha avuto l'idea di creare un mondo nel quale questo nuovo linguaggio potesse essere "vivo": sto parlando del Qenya, l'elfico. Da questa creazione nascono I racconti perduti e I racconti ritrovati, poi ordinati ne Il Silmarillion dal figlio Cristopher. E proprio la ricerca di una lingua che potesse catturare la tradizione britannica, ma essere anche nuova e unica, che potesse accomunare un gruppo più o meno ristretto di persone, rende Il Silmarillion l'opera migliore di Tolkien e ci dimostra come anche un'inutile ricerca come quella in campo letterario può regalarci un risultato di successo mondiale.
Buone letture, fantasy e scientifiche a tutti!

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P.S.: Mi scuso per questo post poco ortodosso, ma dovrete abituarvi a piccole derive in ambiti apparentemente poco scientifici!

L'Italia è un paese di vecchi

Non tanto nel senso anagrafico, anche se potrebbe essere statisticamente corretto, ma soprattutto nel senso politico del termine: basti pensare alla gestione delle proteste del mondo universitario ai tagli alla ricerca accademica.
Questi tagli, in effetti, sembrano indicare l'intenzione di portare l'Italia, come altri paesi occidentali, a diminuire il proprio impegno pubblico nella ricerca. L'idea, di per se non sarebbe neanche tanto sbagliata, ammesso, però, di avere nel nostro paese dei privati disposti ad investire nella ricerca. In effetti in Italia sono quasi assenti gli investimenti privati nella ricerca, sia essa tecnologica sia essa la così detta ricerca di base.
I tagli, dunque, sembrano essere un modo per spingere la mano sul sistema universitario, invitandolo a trasformarsi e a diventare appetibile per gli investitori, in un momento in cui molte sedi distaccate sono nate per soddisfare le esigenze di piccole e medie imprese, per nulla interessate alla ricerca scientifica ma più interessate alla formazione di personale, in un momento in cui molte grandi aziende straniere chiudono sedi un po' in tutto il mondo, Italia inclusa.
In tutto questo le lotte dei ricercatori precari di questi mesi spesso passano sotto silenzio, o saltano alla ribalta per caso, magari in occasione di una inaugurazione di anno accademico (vedi ad esempio quella recente dell'Università della Calabria): spesso si viene a scoprire che la lotta per una effettiva riforma universitaria è chiesta a gran voce proprio da loro, i precari dell'università, quelli che spesso vengono dimenticati, e che si trovano a lottare contro coloro che detengono il potere: i vecchi, appunto.