Con le transizioni di fase abbiamo a che fare più o meno tutti ogni volta che mettiamo, ad esempio, una pentola di acqua sul fuoco per preparare un piatto di pasta, o quando lasciamo un pezzo di ghiaccio a sciogliersi, magari in un bicchiere per rafferddare l'acqua in esso contenuta.
Delle particolari transizioni di fase sono quelle quantistiche, dove a entrare in gioco è soprattutto l'approccio statistico alla termodinamica. I sistemi che vengono maggiormente interessati a questo genere di transizioni sono costituiti da spin: catene o piani discreti, dove ogni punto della catena o del piano è rappresentato da un dato valore dello spin (che può essere indicato come su o giù). Una catena di spin può esere rappresentata dal così detto modello di Ising, mentre una struttura bidimensionale può essere rappresentata dal così detto modello XY.
Nel momento della transizione, il parametro d'ordine del sistema, un numero che misura l'ordine, inizia a comportarsi con un andamento esponenziale, e gli esponenti vengono chiamati esponenti critici. Una transizione di tipo quantistico è quella che trasforma un materiale ferromagnetico in uno antiferromagnetico.
In particolare a quest'ultimo modello si sono dedicati Thouless e Kosterlitz, che peraltro danno il nome, insieme con Vadim L'vovich Berezinskiĭ, alla particolare transizione di fase presente nei modelli XY. Haldane, invece, si è occupato delle catene di spin, che ad esempio possono essere rappresentate con il modello di Ising (o comunque con un modello di quel genere).
Dopo questa (comunque non molto) esauriente spiegazione, vorrei far notare che il racconto fatto durante il live di cosa sia la topologia viene affidato a pretzel e bagel, che sono "fondamentali" nella congettura di Poincaré!
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