La matematica in gioco: Senza parole (o quasi)

L'immagine qui sopra viene da una dimostrazione senza parole proposta da Roberto Zanasi (a tal propostio, non dimenticate di passare dal Carnevale della Matematica #28: edizione agostana, ma non per questo meno bella!). L'idea è quella di dimostrare la formula seguente: \[1+2+\cdots+(n-1) = {n \choose 2}\] o come preferisco io: \[1+2+\cdots+(n-1)+n = {n+1 \choose 2}\] Può essere dimostrata con un paio di semplici calcoli, ricordandosi, ad esempio, degli amati numeri triangolari.
La somma dei primi $n$ numeri nautrali è, infatti, un numero triangolare: \[T_n = \frac{n(n+1)}{2}\] mentre la combinazione di $n+1$ oggetti in gruppi di 2 è: \[{n+1 \choose 2} = \frac{(n+1)!}{(n-1)! 2!}\] Ricordando che il fattoriale, indicato con il punto esclamativo ! posto dietro al numero, è il prodotto di tutti i numeri da $n$ fino a 1 \[n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\] non dovrebbe essere troppo difficile dimostrare l'uguaglianza tra i due, sia partendo dalla combinazione verso il numero triangolare, sia viceversa.
Questo vuol dire che, partendo dal cerchio nel vertice mostrato in figura, se colleghiamo con delle frecce i cerchi di un unico livello, contando tali frecce, che costituiscono il modo di combinare $n +1$ (o $n$) oggetti, otteniamo il numero triangolare $T_n$ (o $T_{n-1}$).

L'immagine di apertura del post è una rielaborzione di Pete Clark sulla dimostrazione presente sul Wolfram Demonstrations Project.