Scalando il Tourmalet

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Per arrivare su in cima al Tourmalet, i ciclisti del Tour de France 2010 arriveranno giovedì, ma nel frattempo oggi inizia il primo tappone pirenaico (di quattro). Una delle caratteristiche tecniche con cui le salite, nel ciclismo, vengono identificate è la pendenza, ma cosa è la pendenza di una salita?
Come al solito ci viene in aiuto la matematica: la pendenza di una retta è definita come la tangente dell'angolo, ovvero il rapporto tra la differenza di altitudine e le ascisse dei punti finale e iniziale della salita \[\frac{\Delta y}{\Delta x} = \tan \alpha\] con \(\alpha\) angolo del piano inclinato.
Per esempio una salita del 10% di pendenza ha una altezza di 10 m contro una lunghezza sulla superficie di 100 m:

A questo punto, in attesa che gli atleti inizino a salire sulle montagne dei Pirenei, si potrebbe valutare la spesa, in termini energetici, del singolo atleta, ovvero il lavoro compiuto da ciascun ciclista.
Prendiamo come esempio proprio il Tourmalet (giusto per dare qualche dato sulla mitica salita): ha una lunghezza di poco meno di 20 Km con una pendenza media del 7,5%, ovvero un angolo di circa 4,3°. Considerando, poi, che il coefficiente di attrito tra le ruote delle biciclette e l'asfalto è di \(\mu_a = 0.035\), siamo in grado di calcolare il lavoro speso dagli atleti per salire lungo i tornanti della mitica salita: \[(Pt - F_a) s\] dove \(P\) è la potenza media erogata dagli atleti, \(t\) il tempo impiegato per la salita, \(s\) la lunghezza della salita, \(F_a\) la forza di attrito tra la bici e la strada, a sua volta espressa dalla formula seguente: \[F_a = \mu_a m g \sin \alpha\] Da notare che la forza di attrito è direttamente proporzionale al peso dell'atleta e alla pendenza del piano inclinato con costante di proporzionalità data dal coefficiente di attrito.
Dall'equazione sul lavoro speso, si possono fare alcune considerazioni sulle differenze tra scalatori e cronomen. Questi ultimi, infatti, in grado di esprimere una potenza sostanzialmente costante nel tempo lungo tutta la scalata, riescono in questo modo a compensare il peso superiore rispetto agli scalatori, che al contrario sperimentano un attrito inferiore, ma sono in grado di esprimere potenze esplosive in lassi di tempo estremamente brevi (i così detti scatti).
E' possibile, a questo punto, utilizzare la matematica a partire da questa formula sul lavoro per fare una previsione su quali saranno gli atleti protagonisti della salita? Si potrebbe, utilizzando ancora un po' di fisica, partire dalla seguente equazione: \[\frac{1}{2} m v^2 = (Pt - F_a) s\] dove il termine a sinistra è l'energia cinetica dei ciclisti.
Considerando il tempo \(t\) come la nostra variabile discriminante e potenza e forza d'attrito come grandezze caratteristiche di ciascun atleta, nel caso di una situazione media dovremmo risolvere un'equazione di terzo grado, o in caso di una situazione variabile nel tempo (come per una corsa ciclistica reale) avremmo un'equazione differenziale di secondo grado.
In entrambi i casi avremmo comunque una previsione che comunque non tiene conto dello stato di forma dell'atleta nel momento di affrontare la salita, e questo aggiunge quel pizzico di imprevedibilità in più che appassiona guardando lo spettacolo del ciclismo (e questo al di là dei bari e dei drogati/dopati che purtroppo ci sono sempre in questo bellissimo sport).

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