La sfera di Matem@ticamente: Raccolta la sfida

Annarita Ruberto lancia una nuova sfida matematica, che io da buon fisico questa volta raccolgo. Come potrete immaginare dall'immagine a corredo, la sfida e la mia soluzione sono legate al principio di Archimede. Andiamo, però, con ordine:
Se immergo un corpo in un fluido, esso subirà una spinta dal basso verso l'alto pari al peso del fluido spostato. In formule \[S = P_f = \rho_f V_s g\] dove $\rho_f$ è la densità del fluido, $V_s$ il volume spostato, $g$ l'accelerazione di gravità.
La forza totale che agisce su un corpo immerso sarà quindi: \[F_{tot} = \rho_c V_s g - \rho_f V_s g\] dove $\rho_c$ è la densità del corpo.
Con questi ingredienti, esaminiamo il problema proposto da Annarita: la forza che agisce sulla sfera immersa nel cilindro sarà \[F_{tot} = \rho_S V_S g - \rho_a V_S g\] dove $\rho_S$ è la densità della sfera, $\rho_a$ quella dell'acqua, $V_S$ il volume della sfera.
Il peso del cilindro (inteso come la forza peso del cilindro) sarà invece dato da \[P_C = T + \rho_a V_C g\] dove $T$ è la tara, $V_C$ il volume del cilindro.
Una volta immersa la sfera nel cilindro, il suo peso aumenta di 20 Kg (ricordo che la sfera pesa invece il doppio, 40 Kg). Possiamo allora scrivere la seguente equazione: \[P_C - P_a + F_{tot} = P_C + 20 \, kg \cdot g\] dove $P_a$ è il peso dell'acqua espulsa dal cilindro dopo aver completato l'immersione della sfera. L'equazione comunque rappresenta questa situazione: a sinistra vengono inseriti gli ingredienti, ovvero il peso del cilindro meno quello dell'acqua espulsa più la forza che agisce sulla sfera⁽¹⁾; a destra il peso del cilindro più quello corrispondente ai 20 Kg in più.
Prima di eseguire i calcoli analitici, valutiamo il peso dell'acqua espulsa, che è identico a quello dell'acqua spostata⁽²⁾: \[P_a = \rho_a V_S g\] Considerando che 20 Kg = 40 Kg/2, ovvero 20 Kg = $mS/2$, l'equazione risolutiva diventa: \[\left ( \rho_S - 2 \rho_a \right ) V_S = \frac{1}{2} m_S\] da cui si ricava facilmente che \[\rho_S = 4 \rho_a\] mentre il volume del cilindro è dato dalla relazione \[V_C = \frac{3}{2} \frac{m_S}{\rho_S}\] A questo punto bisogna solo mettere nelle equazioni i dati del problema, ottenendo le risposte richieste da Annarita.
Ovviamente se dovessero esserci degli errori nel ragionamento o nello svolgimento, siete invitati a segnalarli nei commenti.

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(1) Dobbiamo innanzitutto considerare che l'immissione della sfera ha espulso una certa quantità d'acqua, e quindi questo peso va sottratto, e poi a questo dobbiamo aggiungere il peso immerso della sfera, differente rispetto al peso effettivo a causa della spinta di Archimede.
(2) Ciò viene assicurato dal fatto che l'immersione della sfera è avvenuta lentamente.

Il problema del trasporto

Il problema del trasporto, così come formulato da Gaspard Monge nel 1781, si interroga su cosa succede quando si sposta una massa da un punto a un altro dello spazio. In un problema del genere bisogna tener conto della densità di massa, dei sottospazi in cui si trovano i due punti, $x$, $y$, e gioca un ruolo importante la così detta funzione dei costi, che in uno spazio euclideo viene definita con dalla norma usuale. Problemi di questo genere e la matematica sviluppata per risolverli, trovano svariate applicazioni: economia, analisi funzionale, probabilità e statistica, meteorologia e varie altre. Interessante, poi, come si potrebbe studiare in quest'ottica del problema del trasporto la riflessione su una superficie parabolica come un radar.
Un problema del genere, quindi, mostra una matematica più o meno complessa, ingredienti comunque semplici, una base fondamentalmente fisica, come d'altra parte alcune delle sue applicazioni, diventando così un argomento decisamente pluri-disciplinare.
E' con l'esame di questo problema che Neil Trudinger⁽¹⁾, professore dell'Australian National University ha deliziato la platea intervenuta ad assistere a Optimal transportation in the 21st century, ultimo seminario delle Lezioni Leonardesche, edizione 2009 (pdf). Al di là dei problemi del microfono (uno di quelli che si agganciano all'attaccatura della camicia, con l'acustica influenzata dai movimenti della persona che lo indossa), Trudinger sintetizza l'argomento con una interessante introduzione storica per poi passare alle diapositive più specifiche con definizioni matematiche ed equazioni. Interessante, negli strumenti utilizzati, anche l'uso dei tensori, ovvero di una matematica utilizzata nella relatività generale. In sintesi un argomento che effettivamente avvicina matematica e fisica, soprattutto considerando l'esempio del radar proposto durante il seminario.

The Chicken Equation

La gallina non è un animale intelligente. Lo si capisce da come guarda la gente.

Così cantavano Cochi e Renato alcuni decenni fa. Forse ha pensato la stessa cosa Doug Zongker quando ha presentato il divertentissimo seminario Chicken Chicken Chicken al PoCSci 2002. Il video è divertente, assolutamente esilarante, soprattutto quando arrivano le domande dal pubblico. L'articolo, poi, è un pezzo di scienza irripetibile. Mi ha colpito, da buon teorico, soprattutto l'equazione presente, la& Chicken equation del titolo. Eccovela: \[C(K) = \sum_{i=1}^n \Delta^2 (K_i) = \sum_{i=1}^n \left |E_i - K(H_i) \right |^2\] Ho provato a dare un'interpretazione dei simboli dell'equazione e questo è il risultato:
La funzione $C(K)$ è la misura della gallinità di un allevamento di galline, dove $\Delta (K_i)$ indica la densità di probabilità che la gallina $K_i$ sia una vera gallina, quindi si somma su tutti gli individui dell'allevamento $K$. La stessa quantità può essere espressa come il quadrato della differenza tra l'osservabile $E_i$, che indica il grado di intelligenza dell'individuo $i$-simo e $K(H_i)$, che indica la gallinità dell'individuo $i$-simo, questa volta rappresentato dal termine $H_i$ in quanto la gallina viene vista come componente dello spazio di Hilbert di tutte le galline dell'allevamento $K$: in quest'ultimo caso il primo termine della differenza è sperimentale, mentre il secondo è teorico.
Buon divertimento con il video. Maggiori dettagli su Gavità Zero.

Ritratti: Bernhard Riemann

Bernard Riemann

Forse è un po' eccessivo ridurre Riemann alla sua famosa Ipotesi, considerando che uno dei suoi risultati più importanti è la teoria degli integrali (che guarda un po' rientrano ad un certo punto nella trattazione dell'Ipotesi), però il suo nome resta comunque legato a quell'unico problema del secolo indicato da David Hilbert nel 1900 tra i suoi famosi 23 problemi e ancora non risolto.
Georg Friedrich Bernhard Riemann nacque il 17 settembre 1826 a Breselenz, in Germania. Secondogenito della coppia Friedrich Bernhard Riemann, pastore luterano, e Charlotte Ebell, come i fratelli dovette districarsi attraverso una vita breve e difficile: considerando che erano in 6 (4 femmine e 2 maschi), si può facilmente immaginare quanto difficile fosse per il padre portare del sostentamento alla famiglia. Dei 6 figli Riemann, solo la maggiore, Ida, ebbe una vita abbastanza lunga per i canoni dell'epoca. Insieme alla famiglia, Riemann visse a Quickborn buona parte dei suoi migliori anni, sentendo in quel posto tutto il calore della famiglia e dei suoi affetti. Per poter coltivare, però, gli studi, il giovane fu costretto a trasferirsi ad Hannover, ambiente dove, anche a causa della sua timidezza, non si trovò mai bene. Il passo successivo che lo avvicinò alla matematica e a Gottinga fu Luneburg, dove conobbe un insegnante di ebraico grazie al quale riuscì ad andare nell'Università di Gauss per studiare, all'inizio, teologia e seguire così le orme del padre: era il 1846.

Il flipper magnetico

via commons

Ricercatori francesi hanno sviluppato un nuovo modello che descrive il campo magnetico terrestre che include una spiegazione semplice sui suoi molteplici cambiamenti di direzione nel corso della storia terrestre.
Molti geofisici sono d'accordo con il fatto che la principale componente del campo magnetico terrestre è generata da correnti di convezione nel ferro fuso del nucleo planetario. Questo campo di dipolo, che definisce i poli magnetici terrestri, ha cambiato polarità decine di migliaia di volte nel passato: le prove di questo fatto sono contenute all'interno delle rocce, dove le precedenti configurazioni magnetiche si sono in un certo senso congelate come i fossili antichi.
Varie teorie hanno provato a speigare il meccanismo di inversione ma generalmente presentano un alto grado di complessità: le variabili casuali nel flusso del liquido nucleare terrestre sono gli interruttori principali del meccanismo.

QED

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Titolo: QED - La strana teoria
della luce e della materia
Autore: Richard Feynman
Edizione: Adelphi

Uno dei problemi che più ha alimentato la discussione tra i fisici è stata la natura particellare o forse ondulatoria della luce. E una delle scoperte più sconcertanti è stata invece il comportamento ondulatorio delle particelle. Andiamo, però, con ordine: per molti secoli a partire da Isaac Newton, che però pensava alla luce come composta da particelle, si descrissero i fenomeni ottici come ondulatori. La spiegazione era sufficientemente coerente con le osservazioni sperimentali, ma la sempre maggiore raffinatezza con cui questi iniziarono ad essere condotti mise in dubbio l'assunto. In certe condizioni, infatti, inviando cioé la luce con una frequenza estremamente bassa, il comportamento della luce era tipicamente particellare. Come poteva accadere ciò?
Semplicemente si doveva pensare alla luce come composta da particelle cui assegnare un particolare vettore che ne trasporta le caratteristiche salienti. Queste, interagendo con la materia, venivano opportunamente modificate: l'applicazione di modifiche successive e il quadrato del modulo del vettore risultante da queste applicazioni era in grado di spiegare le osservazioni sperimentali, tutto questo però portò all'abbandono di una spiegazione intuitiva dei fenomeni di interazione tra luce e materia e a un'interpretazione probabilistica e non deterministica dei fenomeni stessi.
E' questo, in sintesi, parte delle lezioni che Richard Feynman tenne all'UCLA agli inizi degli anni Ottanta del XX secolo all'interno di un programma di conferenze di divulgazione scientifica promosse dalla Fondazione Alix G. Mautner. Quelle quattro conferenze di Feynman vennero successivamente raccolte, trascritte e redatte con l'aiuto di Ralph Leighton per dare vita a QED - La strana teoria della luce e della materia, in cui il Premio Nobel racconta nel modo più semplice possibile, ma senza mai banalizzare, la teoria dell'elettrodinamica quantistica, che ha contribuito a migliorare e rendere quella che è oggi.

Nella tela del ragno

Carissimi amici nerd, uno dei nostri miti è sicuramente Peter Parker, meglio noto come l'Uomo Ragno. Ragazzino inteliggente, quasi geniale, venne punto da un ragno radiattivo ottenendone le caratteristiche, ma proporzionate ad un uomo. Una delle prime cose che il ragazzo pensò bene di fare fu cercare di realizzare una sostanza in grado di riprodurre le proprietà della tela di un ragno, in maniera da sostenerlo durante i suoi volteggi tra i palazzi di New York. In effetti, fin dagli anni Sessanta, quando il supereroe fu creato da Stan Lee e Steve Ditko, si sapeva che la seta prodotta dai ragni è più resistente dell'acciacio, ma oggi, dopo quaranta anni dagli esperimenti casalinghi di Peter, un gruppo di fisici tedeschi ha scoperto che può essere anche più forte aggiungendo piccole quantità di metallo.
La scoperta potrebbe aiutare i ricercatori a comprendere perché alcune strutture biologiche che contengono metalli, come mascelle e pungiglioni, sono così forti. Potrebbe anche condurre a nuovi processi per realizzare materiali naturali e artificiali più resistenti.
La seta del ragno è un polimero fatto con piccoli strati cristallini di proteine legate una con l'altra da reticoli amorfi di aminoacidi. I ragni producono differenti tipi di seta, ma Mato Knez e colleghi del Max Planck Institute of Microstructure Physics e dell'Università Martin Luther, hanno studiato un tipo particolare di tela, fatta di un materiale non appiccicoso che i ragni utilizzano per rinforzare e appendere le loro ragnatele.

Grafene: il più duttile del mondo

Fin dalla sua scoperta nel 2004, il grafene continua ad affascinare i fisici con la crescita della lista delle sue eccezionali proprietà elettriche e meccaniche. Mentre piccoli pezzi di materiale, che è uno strato di carbonio spesso appena un atomo, sono costruiti con semplicità, è più difficile realizzare campioni di grande qualità e grandi superfici che posono essere utilizzati in dispositivi al grafene.
Ora ricercatori francesi hanno realizzato con un processo semplice dei pezzi di grafene relativamente grandi. Abhay Shukla e colleghi dell'Università Pierre e Marie Curie mostrano che grandi quantità di grafite possono essere depositate sopra vetri di borosilicato e quindi spaccarsi per lasciare un singolo reticolo di grafene sul substrato.

L'uomo che sapeva troppo

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Titolo: L'uomo che sapeva troppo
Autore: David Leavitt
Edizione: La biblioteca de Le Scienze

Giusto settanta anni fa la Germania invadeva la Polonia, dando così inizio alla Seconda Guerra Mondiale. Un ruolo particolare lo rivestiranno, sia da una parte sia dall'altra, proprio gli scienziati, e i migliori talenti dell'epoca verranno impiegati in molti campi, soprattutto nella scienza applicata. Ingegneri, fisici, ma anche matematici. Tra tutti spicca il nome di Alan Turing, oggi considerato uno dei padri del computer e sicuramente un anticipatore delle teorie e dei lavori alla base dell'intelligenza artificiale e delle reti neurali.
Nato il 23 giugno del 1912, Turing rappresenta, in un certo senso, un doppio smacco per la Germania di Hitler, considerando che lavorò e sconfisse la macchina Enigma, che tante vittorie sembrava dover dare ai tedeschi, ma soprattutto apparteneva a una delle tipologie di persone perseguitate dal suo regime: gli omosessuali.
Oggi, forse, in molti prenderebbero il computer e lo getterebbero dalla finestra, o magari si rifiuterebbero di usarlo o più semplicemente inizierebbero a negare il valore e il merito di Turing nella storia del computer e dell'intelligenza artificiale, eppure la dedizione del matematico britannico nello studio della logica applicata alle macchine per la creazione di una intelligenza artificiale che fosse paragonabile a quella umana è assodato per tutta la comunità scientifica. E il libro di David Leavitt è un percorso attraverso i suoi articoli, il suo lavoro sull'Enigma, i suoi molteplici interessi, estremamente rigoroso e preciso, a volte anche molto tecnico, ma che si riesce comunque a seguire, considerando quanto ostica è la materia di cui si è occupato Turing per la maggior parte della sua carriera scientifica.